Prüfer 序列

由于本人过菜，故写文备忘。

参考资料：

https://www.luogu.com.cn/blog/TheLostWeak/solution-p2290

https://oi-wiki.org/graph/prufer

https://github.com/cp-algorithms/cp-algorithms/blob/master/src/graph/pruefer_code.md

$\mathsf{Pr}\mathsf{ü}\mathsf{fer}\mathrm{序}\mathrm{列}$

Prüfer 序列常用于组合计数问题上。

Prüfer 序列可以将一个带标号 $n$ 个结点的树用 $[1,n]$ 中的 $n-2$ 个整数表示。你也可以把它理解为完全图的生成树与数列之间的双射。

$\mathrm{一}$ 从树到序列

每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个结点。重复 $n-2$ 次后就只剩下两个结点，算法结束。

线性构造法

用指针 $p$ 指向编号最小的度数为 0 的节点。先删掉 $p$，获得 $x$，为度数被更新的节点。如果 $x$ 的度数不变为 0，即没有产生新的度数为 0 的节点，那么将 $p$ 自增，直到找到度数为 0 的节点，此时 $p$ 指向的就是下一个要删掉的节点。如果 $x$ 的度数变为 0，我们 check 一下 $x$ 与 $p$ 的大小：

若 $x<p$，意味着 $p$ 在自增环节扫过 $x$，但当时由于 $x$ 的度数限制，没有被删掉，如今 $x$ 应当被删掉了，我们删掉 $x$，继续检索 $x$ 是否致使产生新的 0 度节点，若产生了，并且产生的节点编号 $<p$，循环执行删除，如果否，退出循环。
注意在这个过程中不改动 p，因为 p 可以在上述操作后仍保持原有 1 到 p-1 间不存在 0 度节点的性质。

若 $x>p$，意味着虽然 $x$ 的度数变成 0 了，但是 $p$ 并未在自增环节扫过 $x$，也就是说 $x$ 的编号顺序不一定满足条件。反正之后会扫到 $x$，我们当前直接跳过。

循环执行直到未被删除的节点只剩 2 个，结束。

//此代码摘取自https://github.com/cp-algorithms/cp-algorithms/blob/master/src/graph/pruefer_code.md
  vector<int> code(n - 2);
  int leaf = ptr;
  for (int i = 0; i < n - 2; i++) {
    int next = parent[leaf];
    code[i] = next;
    if (--degree[next] == 1 && next < ptr) {
      leaf = next;
    } else {
      ptr++;
      while (degree[ptr] != 1) ptr++;
      leaf = ptr;
    }
  }

复杂度分析：除了删除节点和 $p$ 自增的均摊 $O(n)$ 之外其余操作均 $O(1)$。总复杂度 $O(n)$。

$\mathrm{二}$ 从序列到树

刚开始你有一个点集 $V=\{v|1\le v\le n\}$，这个点集是所有没连边的节点的集合。

循环执行以下操作：

拿出 Prüfer 序列最靠前的数，拿出点集中不在当前 Prüfer 序列中的编号最小的点。在两个点之间连一条边。

同样可以线性时间解决。

$\mathrm{三}$ 性质

1. Prüfer 序列与无根树为双射关系。
2. 度数为 $d_i$ 的节点会在序列中出现 $d_i-1$ 次。
3. 节点 $n$ 一定会活到最后。

$\mathrm{四}$ 例题

P2290 [HNOI2004] 树的计数

给定了每个节点的度数，那么该节点在 Prüfer 序列中出现次数也确定了。那么就是一个可重集合排列。

P4981 父子

$n$ 个节点无根树的个数根据 Cayley 公式得到，由于节点之间互异，不同节点当根不会产生同构，所以有根树个数 $\times n$ 即可。

$\mathsf{Cayley}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathsf{(}{\mathsf{Cayley}}^{\prime }\mathsf{s}\mathsf{formula}\mathsf{)}$

$n$ 个节点可以产生 $n^{n-2}$ 种连通无根树。

用 Prüfer 序列证明：任意一个长度为 $n-2$ 的值域 $[1,n]$ 的整数序列都可以通过 Prüfer 序列映射为一个生成树，故种类为 $n^{n-2}$。

$\mathrm{图}\mathrm{连}\mathrm{通}\mathrm{方}\mathrm{案}\mathrm{数}$

以下内容 copy 自 $\mathcal{OIwiki}$。本人还没阅读。

Prüfer 序列可能比你想得还强大。它能创造比凯莱公式更通用的公式。比如以下问题：

一个 [n] 个点 [m] 条边的带标号无向图有 [k] 个连通块。我们希望添加 [k-1] 条边使得整个图连通。求方案数。

证明

设 $s_i$ 表示每个连通块的数量。我们对 $k$ 个连通块构造 Prüfer 序列，然后你发现这并不是普通的 Prüfer 序列。因为每个连通块的连接方法很多。不能直接淦就设啊。于是设 $d_i$ 为第 $i$ 个连通块的度数。由于度数之和是边数的两倍，于是
$\sum _{i=1}^k{d}_i=2k-2$ 。则对于给定的 $d$ 序列构造 Prüfer 序列的方案数是

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots ,d_k-1})=\frac{(k-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!\cdots (d_k-1)!}$$

对于第 $i$ 个连通块，它的连接方式有 ${s_i}^{d_i}$ 种，因此对于给定 $d$ 序列使图连通的方案数是

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots ,d_k-1})\cdot \prod _{i=1}^k{s_i}^{d_i}$$

现在我们要枚举 $d$ 序列，式子变成

$$\sum _{d_i\ge 1，\sum _{i=1}^k{d}_i=2k-2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots ,d_k-1})\cdot \prod _{i=1}^k{s_i}^{d_i}$$

好的这是一个非常不喜闻乐见的式子。但是别慌！我们有多元二项式定理：

$$(x_1+\cdots +x_m{)}^p=\sum _{\begin{array}{c}{c}_i\ge 0,\sum _{i=1}^m{c}_i=p\end{array}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{c_1,c_2,\cdots ,c_m})\cdot \prod _{i=1}^m{x_i}^{c_i}$$

那么我们对原式做一下换元，设 $e_i=d_i-1$ ，显然
$\sum _{i=1}^k{e}_i=k-2$ ，于是原式变成

$$\sum _{e_i\ge 0，\sum _{i=1}^k{e}_i=k-2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-2}{e_1,e_2,\cdots ,e_k})\cdot \prod _{i=1}^k{s_i}^{e_i+1}$$

化简得到

$$(s_1+s_2+\cdots +s_k{)}^{k-2}\cdot \prod _{i=1}^k{s}_i$$

即

$$n^{k-2}\cdot \prod _{i=1}^k{s}_i$$

这就是答案啦