组合数学 1

备忘用。

排列组合

$$\begin{array}{r}{A}_n^m=n(n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot (n-m+1)={\displaystyle \frac{n!}{(n-m)!}}=C_n^m\cdot m!\end{array}=n^{\underset{―}{m}}$$

$$C_n^{}={\displaystyle \frac{A_n^m}{m!}}={\displaystyle \frac{n!}{(n-m)!\cdot m!}}={\displaystyle \frac{n^{\underset{―}{m}}}{m^{\underset{―}{m}}}}$$

杨辉三角形

$$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$$

$$C_n^k=0\left(\begin{array}{c}k<0\Vert k>n\end{array}\right)$$

简单的几个式子：

$$C_n^k=C_n^{n-k}$$

$$\sum _{i=0}^n{C}_n^i=2^n$$

$$C_n^0+C_n^2+\dots +C_n^{\lfloor {\displaystyle \frac{n}{2}}\rfloor \cdot 2}=2^{n-1}$$

$$\sum (C_n^i\cdot \sum C_i^j)=3^n$$

$$\sum _{m=k}^n{C}_{m-1}^{k-1}=C_n^k$$

$$\sum _{m=0}^k{C}_p^m\cdot C_q^{k-m}=C_{p+q}^k$$

$$k\cdot C_m^k=m\cdot C_{m-1}^{k-1}$$

$$\sum _{k=0}^{n}k\cdot C_m^k=\sum _{k=0}^{n-1}m\cdot C_{m-1}^k$$

$$\sum _{k=0}^{n}k\cdot C_n^k=n\cdot 2^{n-1}$$

$$\sum _{k=0}^n{k}^2\cdot C_n^k=n\cdot (n+1)\cdot 2^{n-2}$$

组合数求和

对角线求和

$$C_n^m+C_{n+1}^{m+1}+\dots +C_{n+k}^{m+k}=C_{n+k+1}^{m+k}-C_n^{m-1}$$

直线求和

$$C_n^m+C_{n+1}^m+\dots +C_{n+k}^m=C_{n+k+1}^{m+1}-C_n^{m+1}$$

二项式定理

$${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\cdot a^k{b}^{n-k}$$

$C_n^m$ 的奇偶性仅与 $(n-m)\mathrm{\&}m$ 有关，如果是奇数，其值为 $0$。

$\mathtt{Lucas}$ 定理

若 $p$ 是质数，则对于任意整数 $1\le m\le n$ 满足：

$$C_n^m\equiv C_{n\mathrm{\%}p}^{m\mathrm{\%}p}\cdot C_{n/p}^{m/p}\left(modp\right)$$