UVa 1393 / LA 3720 Highways

一开始以为要用欧拉函数解决，看了半天，发现怎么套都套不上去，只好换个角度思考，由于是递推专题，就用递推的思路尝试一下，如果n行m列的所有道路都已经建好。现在新添加一行，即第n+1行，会有哪些道路需要建设？

先看第n+1行的第一个点a，再选择一个非同行同列的点b，若a与b之间没有道路，需要满足哪些条件？

a与b之间没有道路就必须满足a与b之间的道路没有经过其它点，即a与b之间的横纵坐标之差互质。想到这就自以为解决问题了。

 

后来发现互质只是条件之一，若有另外一点c与a的横坐标之差和纵坐标之差都是b的两倍，那么a与b的道路就已经存在。所以完整的条件是a与b互质且没有任何一点与a的横坐标之差和纵坐标之差都是b的两倍。

 

在代码实现时还需要一些小技巧来加速。详见代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 333;
int c[maxn][maxn];

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void init()
{
    int i, j, k, n = 300;
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for(i = 1; i <= n; i ++)
        for(j = 1; j <= n; j ++)
        {
            k = gcd(i, j);
            if(k == 1)
                c[i][j] = 1;
            else if(k == 2)
                c[i][j] = -1;
        }

    for(i = 1; i <= n; i ++)
        for(j = 2; j <= n; j ++)
            c[i][j] += c[i][j - 1];

    for(i = 2; i <= n; i ++)
        for(j = 1; j <= n; j ++)
            c[i][j] += c[i - 1][j];
}

int main()
{
    int n, m, i, j, ans;
    init();
    for(;scanf("%d%d", &n, &m), n + m;)
    {
        if(n > m)
            swap(n, m);
        ans = 0;
        for(i = 1; i < n; i ++)
            for(j = 0; j < m; j ++)
                ans += c[i][m - 1 - j] + c[i][j];
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}