P1247 取火柴游戏

原题链接  https://www.luogu.com.cn/problem/P1247

 

 

题解 

这是一道经典的 NIM游戏 的博弈论 。

NIM游戏

通常的 Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是 “ 选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

设有 n 堆石子，每堆石子的数量为 a₁ , a₂ , …… , a_n ；

当某个人面临 a₁ = a₂ = …… = a_n = 0 的状态时，这个人就输了，所以我们将此状态称为 “ 必败状态 ”；

如果一个状态能通向必败状态，那么就称当前状态为 “ 必胜状态 ”，因为两个人都是绝顶聪明的，能赢绝不输；

我们先从最简单的必败状态开始分析：

若有 a₁ = a₂ = …… = a_n = 0，那么可以得到 a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n = 0；

话说虽然 a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n = 0 不能推得 a₁ = a₂ = …… = a_n = 0，但是你若想让对手面临 a₁ = a₂ = …… = a_n = 0 的状态，你起码要保证把 a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n = 0 的状态留给对手好吧；

分析一下将 a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n = 0 的状态留给对手的结果：

①. a₁ = a₂ = …… = a_n = 0

皆大欢喜，你赢了！

②. 有 i 对相等的数（1 <= i <= n/2）

虽然你现在没有赢，但是对手肯定赢不了，因为此时至少有两堆石子没有被取空，你的对手不可能同时将两堆石子取空；

这么一看，你若把 a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n = 0 的状态留给对面，除了能把对手恶心死好像就没有什么坏处了，何乐而不为呢？

但是你现在的状态是 a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n = x 啊，那要怎么办呢？

根据异或的性质可以得到：a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n ^ x = 0，如果我们对其中一堆石子 a_i 取得只剩下 a_i' = a_i ^ x 个，那么此时留给对手的状态就是 a₁ ^ a₂ ^… ^ a_i' ^ … ^ a_n = 0 了 。

通过上述操作可知，若对手面临 a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n = 0 的状态，无论ta接下来怎么取，一定会将状态转化为 a₁ ^ a₂ ^…^ a_i' ^… ^ a_n = y ( y≠0 ) ，然后我们可以反手再将状态变为 a₁ ^ a₂ ^…^ a_i' ^…^ a_j' ^… ^ a_n = 0 ( a_j' = a_j ^ y ) ，这样对手就一直面临着 a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n = 0 的状态，也就自然不会有机会赢了 。

总结：a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n = x 是一个必胜状态；反之，a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n = 0 是一个必败状态（两种状态的胜负情况都是对于当前操作者来说的）。

还有最后一个问题：当面临 a₁ ^ a₂ ^…… ^ a_n = x 的状态时，我是将哪一堆的 a_i 取成 a_i' = a_i ^ x 呢？

看到题目中给出的游戏规则：每次可以从一堆中取走若干根火柴，也可以一堆全部取走，但不允许跨堆取，也不允许不取。

所以我们要保证 a_i' < a_i ，即 a_i ^ x < a_i 。

设 x 在二进制表示下最高位的 1 是在第 k 位，由异或的性质可知：a₁ ~ a_n 的若干数中（至少一个）的第 k 位为 1，然后我们随便从中找出一个数，设为 a_i；

思考一下 a_i ^ x < a_i ？我们对 a_i 和 x 的二进制位进行分析：

由于 x 的最高位在第 k 位，所以第 k 位往左的部分异或后不变； 第 k 位异或后为 0；

第 k 位由 1 变为了 0，a_i 的大小减去 2^k-1 ，就算后面的 1~k-1 位由 0000……000 变成了 1111……111，a_i 的大小最多增加 2⁰ + 2¹ + …… + 2^k-2 = 2^k-1 - 1 。

这么看来，a_i 的值注定是要减小的了，那么 a_i' < a_i ，则 a_i 就是我们要找的天选之子。

Code： 

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=500005;
int n;
int a[N];
long long ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        ans^=a[i];                  //算出每堆石子数的异或和 
    }
    if(ans==0) printf("lose\n");    //ans==0是必败状态 
    else                            //否则为必胜状态 
    {                               //我们接下来的任务就是要找一个ai把它取成ai^ans 
        int x=0;
        for(int i=45;i;i--)         //寻找ans的最高位的1是第几位 
        {
            if(ans&(1ll<<i)) 
            {
                x=i;
                break;              //由于我们是从高位向低位枚举,所以一旦找到,那么肯定是最高位,直接跳出 
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)       //我们再从所有的石子堆里找出一个ai,使得ai的第x位也是1 
        {
            if(a[i]&(1ll<<x))       //找到符合条件的ai 
            {    
                printf("%d %d\n",a[i]-(a[i]^ans),i);  //将第i堆石子取得只剩下ai^ans,那就要取走ai-(ai^ans) 
                a[i]=a[i]^ans;      //剩下ai^ans 
                for(int j=1;j<=n;j++) printf("%d ",a[j]);  //将剩下每堆得石子数输出即可 
                return 0;        
            }
        }
    }
    return 0;
}