P1314 聪明的质监员
原题连接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1314
首先题号好评QwQ~ 1314
乍一看此题，发现题目好像有点难理解，先带大家理解一下吧：
意思就是：我们要在第 i 个区间 [ Li , Ri ] 里找到所有的 j，使得 wj >= W，求出这些 j 的价值总和及符合条件的 j 的个数，那么这个区间的贡献就是这个价值总和乘上 j 的个数，然后我们要算所有区间的贡献的总和 Y ，最后输出 Y - S 的绝对值的最小值，其中 W 可以自己定 。
既然 W 可以自己定，那么一个很显然的思路就是我们二分枚举 W，看看哪个 W 最合适不就好啦？
枚举的上下界
我们再回头看那个公式，显然若 W 变大，则 Y 变小（符合条件的 j 的数量少了）； 若 W 变小，则 Y 变大；
那么如果 W 一直变小，直到所有矿石的 wi 都大于我们枚举的这个 W 的话，那么不就是所有的矿石都被我们给选上了？这时候就会产生最大的 Y；
同理，当 W 比所有矿石的 wi 都大时，所有的矿石我们都没选，这时候就会产生最小的 Y ；
所以我们便得出来上下界：
下界：最小的 wi - 1 ；
上界：最大的 wi + 2，这里为什么是 + 2 呢？因为 + 1就是所有矿石都不选的情况，我们枚举的时候也要考虑到这种情况。所以再 + 1 就囊括了所有的情况了；
for(int i=1;i<=n;i++) { a[i].w=read(); a[i].v=read(); if(a[i].w>maxn_w) maxn_w=a[i].w; //找最大重量 if(a[i].w<minx_w) minx_w=a[i].w; //找最小重量 } for(int i=1;i<=m;i++) //m个区间 { nl[i]=read(); nr[i]=read(); } long long left=minx_w-1; //找上下界,这样就能包含所有情况哦 long long right=maxn_w+2;
二分过程
当我们枚举的 W 求出的 Y 过大时，我们应该增大 W 来使得 Y 变小来尽量接近 S；当我们枚举的 W 求出的 Y 过小时，我们应该减小 W 来使得 Y 变大来尽量接近 S；然后我们在求过过程中对 | Y - S | 一直取min 就行了。
求前缀和
最后一部分就是求每个区间的贡献，显然我们要求出每个区间符合条件的 j 的个数和价值总和，如果我们对于每个区间我们都要 O（n）的枚举一遍的话， 总的时间复杂度应该是 O（nm log n），log n 是二分次数。对于 2e6 的数据，显然炸的妥妥的，那怎么办呢？
我们可以用前缀和鸭，对于我们枚举的每个 W ，我们都先预处理出 价值总和 ，符合条件的个数 这两个前缀和，然后每个区间我们 O（1）算出其贡献值，这样的时间复杂度应该是 O（（n+m） log n），比较保险~
对于上面的时间复杂度的估算，本蒟蒻很可能算错了，若发现错误请大佬们指出，感激不尽QwQ~
那么怎么求前缀和？
我们设： pre_num [ i ] 为第 1 个矿石到第 i 个矿石中符合条件的矿石数（条件：wj >= W），pre_v [ i ] 为第 1 个矿石到第 i 个矿石中所有符合条件的矿石的价值总和。
那么我们可以得出递推方程（状态转移方程）：
for(int i=1;i<=n;i++) { if(a[i].w>=W) //如果第i个矿石满足条件 { pre_num[i]=pre_num[i-1]+1; //在上一个的基础上加上自己本身 pre_v[i]=pre_v[i-1]+a[i].v; } else //不满足条件的话 { pre_num[i]=pre_num[i-1]; //继承上一个 pre_v[i]=pre_v[i-1]; } }
这个还是比较显然的吧QwQ~
算区间贡献
前缀和做差大家应该都会，我们有了1~n的前缀和了，那么我们求区间 [ Li , Ri ] 内的符合条件的矿石数，就是区间 [ 1 , Ri ] 内符合条件的矿石数减去区间 [ 1 , Li -1] 内符合条件的矿石数，求区间的价值总和同理：
for(int i=1;i<=m;i++) //m个区间 { Y+=(pre_num[nr[i]]-pre_num[nl[i]-1])*(pre_v[nr[i]]-pre_v[nl[i]-1]); //求每个区间的贡献和 }
上完整的AC代码：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; long long read() { char ch=getchar(); long long a=0,x=1; while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') x=-x; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { a=(a<<3)+(a<<1)+(ch-'0'); ch=getchar(); } return a*x; } long long n,m,l,r; long long pre_num[2000001]; long long nl[2000001],nr[2000001]; long long maxn_w,minx_w,minx,S; long long pre_v[2000001]; struct node { long long w,v; //重量w,价值v }a[2000001]; int work(long long W) //我们枚举的W { for(int i=1;i<=n;i++) { pre_num[i]=0; pre_v[i]=0; } for(int i=1;i<=n;i++) //预处理 { if(a[i].w>=W) //如果第i个矿石满足条件 { pre_num[i]=pre_num[i-1]+1; //在上一个的基础上加上自己本身 pre_v[i]=pre_v[i-1]+a[i].v; } else //不满足条件的话 { pre_num[i]=pre_num[i-1]; //继承上一个 pre_v[i]=pre_v[i-1]; } } long long Y=0; for(int i=1;i<=m;i++) //m个区间 { Y+=(pre_num[nr[i]]-pre_num[nl[i]-1])*(pre_v[nr[i]]-pre_v[nl[i]-1]); //求每个区间的贡献和 } long long s=Y-S; if(s<0) s=-s; //手写取绝对值,用函数总有一堆奇怪的错误 if(s<minx) minx=s; //更新答案 if(Y>S) return 1; //Y太大,需要增大W来减小Y if(Y<S) return 0; //Y太小,需要减小W来增大Y if(Y==S) return -1; //正好,一定是最优解 } int main() { n=read();m=read();S=read(); maxn_w=-1314;minx_w=1e18;minx=1e18; for(int i=1;i<=n;i++) { a[i].w=read(); a[i].v=read(); if(a[i].w>maxn_w) maxn_w=a[i].w; //找最大重量 if(a[i].w<minx_w) minx_w=a[i].w; //找最小重量 } for(int i=1;i<=m;i++) //m个区间 { nl[i]=read(); nr[i]=read(); } long long left=minx_w-1; //找上下界,这样就能包含所有情况哦 long long right=maxn_w+2; while(left<=right) { long long mid=(left+right)>>1; int p=work(mid); if(p==1) left=mid+1; if(p==0) right=mid-1; if(p==-1) break; //找到了最优解,不必再搜了 } printf("%lld",minx); return 0; }
