P2119 魔法阵
原题链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2119
YY同学今天上午给我们讲了这个题目,我觉得她的思路很好,特此写这篇博客整理一下。
50分:暴力枚举
四重 for 循环分别枚举每个物品作为A物品,B物品,C物品,D物品的情况,看看能否满足题目中给出的三个式子,满足的话对应物品的次数加一就好啦;
100分:数学做法
我们回过头来看上面的三个式子:
对于第一个式子,我们可以按照魔法值从低到高来选择物品;
由第二,三个式子我们可以得到:
我们可以画一个数轴来表示物品A,B,C,D的位置,应该是长这个样子的(by YY):
考虑枚举t
由于物品的魔法值只能取整数,所以通过上述的关系我们可以通过枚举 t 来求出魔法物品出现的次数。
考虑枚举范围:
考虑到AD>9t 且AD<=n,所以 9t < n;
我们已经知道AB=2t,CD=t,但是我们都不知道A,B,C,D的位置在哪里,那么怎么办呢?
我们可以分别枚举A和B中的一个,C和D中的一个,然后再利用上面的关系式求出另外一个;
考虑枚举D(这里是魔法值)
考虑枚举范围:
考虑到 A 最小为1,且AD>9t,所以D得位置要大于 9t+1,即我们要从 9t+2 开始枚举D;
有了D的位置,C的位置我们可以通过 D - t 推出来,但是由于 BC>6t,并没有具体的数值,我们还是不能确定B的位置;
又因为使A,B,C,D满足条件的k的最小值为1,所以对于当前的C和D,最大的A和B为A=D−9t−1,B=D−7t−1
那么如果A和B更小怎么办?
观察到在其他条件不变的情况下,只要C和B满足Xc−Xb>6t,那么这个魔法阵就一定成立,所以当(a1<a2,b1<b2)时,只要a2和b2能够和C,D组成魔法阵,a1,b1也一定能和C,D组成魔法阵,所以可以使用前缀和优化;
然后又由乘法原理可得,当前魔法值作为D物品的个数为SumD=SumA*SumB*SumC
所以我们利用前缀和优化SumA*SumB
C的情况可以顺便在算D的时候算出来
同理我们枚举A
但是和我们刚刚枚举D的情况也有些不同,
在其他条件不变的情况下,只要C和B满足Xc−Xb>6t,那么这个魔法阵就一定成立,所以当(c1<c2,d1<d2)时,只要c1和d1能够和A,B组成魔法阵,c2,d2也一定能和A,B组成魔法阵,所以可以使用后缀和优化
因为需要统计后缀和,所以需要逆推
考虑枚举范围:
考虑到D需要<=n,而D>A+9t,所以A的最大上限就是:n - 9t -1;
因为需要逆推求后缀和,所以我们倒着枚举;
输出
输出的时候我们只需要输出第 i 个物品的魔法值作为物品A,B,C,D的次数就好啦;
特殊情况
因为我们的D>A+9t,而我们又知道A的最小值是1,t 的最小值是1,换过来就是:D>10,所以就是n最小得是11,要不然我们就找不到符合条件的D了;
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int n,m,sum; int A,B,C,D; int num[15001],X[40001]; int a[40001],b[40001],c[40001],d[40001]; /* a[i]魔法值为 i 的物品作为魔法阵的A物品的次数 b[i]魔法值为 i 的物品作为魔法阵的B物品的次数 c[i]魔法值为 i 的物品作为魔法阵的C物品的次数 d[i]魔法值为 i 的物品作为魔法阵的D物品的次数 */ int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&X[i]),num[X[i]]++; if(n<11) //特判 { for(int i=1;i<=m;i++) printf("0 0 0 0\n"); //无解的情况 return 0; } for(int t=1;9*t<n;t++) //t一定要在最外层 { sum=0; for(D=9*t+2;D<=n;D++) //顺着枚举D { C=D-t; //算A,B,C B=C-6*t-1; A=B-2*t; sum+=num[A]*num[B]; //维护前缀和 c[C]+=sum*num[D]; //算出C和D的情况 d[D]+=sum*num[C]; } sum=0; for(int A=n-9*t-1;A;A--) //同理倒着枚举A { B=A+2*t; C=B+6*t+1; D=C+t; sum+=num[C]*num[D]; a[A]+=sum*num[B]; b[B]+=sum*num[A]; } } for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d %d %d %d\n",a[X[i]],b[X[i]],c[X[i]],d[X[i]]); //输出对应得魔法值的次数 }