P1120 小木棍 ［数据加强版］

原题链接  https://www.luogu.org/problemnew/show/P1120

不得不说，这题真的是一道深度搜索毒瘤题qwq，整整坑了我一个上午。

先说一下大体思路：

1.读入数据的同时（注意过滤掉长度大于50的木棍），算出所有小木棍的总和sum，因为至少所有的小木棍会拼成一根长度为sum的超大木棍；

2.找出所有小木棍中长度最大的那根max，原始长度len一定大于等于这个max，所以我们从max开始搜索，若找到一个符合条件的原始长度len就立刻返回，此时这个len一定是最小值；

考虑一下怎么搜：我们设search（int k，int last，int rest） 表示当前正在拼接第k根木棍，上一根用到的小木棍是last，当前还有rest没拼接完； 

当然若这个题不加任何剪枝技巧进行深度优先搜索的话，时间效率是指数级别的，效率非常低，程序将严重超时。对于此题我们可以从可行性和最优性上加以剪枝：

最优性剪枝：

1.所以木棍的总长度为sum，那么原始长度len一定能够被sum整除，即len | sum ，因为你要拼出来整数根木棍，不可能拼出来小数根木棍；

2.木棍的原始长度一定大于等于所有小木棍中最长的那根；

可行性剪枝：

3.一根长木棍肯定比几根短木棍拼成同样长度的用处小，即短的木棍可以更灵活组合，所以对输入的所有木棍按长度从大到小排序，从长到短地将木棍拼入，这样短木棍可以更加灵活，拼成原始长度len的成功率更高；

4.在截断后的排好序的木棍中，当用第i根木棍拼接时，可以从i+1后的木棍开始搜。因为根据优化3，你总是先用长度更大的木棍，所以前i个木棍已经用过了；

5.当dfs返回拼接失败，需要更换当前使用的木棍时，不要再用与当前木棍的长度相同的木棍，因为当前木棍用了不行，改成与它相同长度的木棍一样不行。这里我开了个数组nxt[i]表示与第 i 根长度相同的所有木棍中最后一根，那么nxt[i]的下一根就是和i长度不相同的木棍；这个预处理可以优化时间，不必在循环中慢慢往下找长度不相等的木棍；

6.我们拼接木棍的时候只找长度小于等于剩余长度rest的木棍（长了接不上啊），所以我们可以二分查找到第一根长度小于等于rest的木棍，那么它后面的木棍都是小于rest的木棍；

7.当我们搜到了最后一根木棍的时候，我们直接返回，因为剩下的一定能拼成原式长度len；

证明：  所有木棍的长度总和为sum，当前枚举的原式长度为len，那么能拼成m=sum/len 根木棍；若当前正在拼第m根木棍的话，那么说明前面的（m-1）根木棍已经拼好了，用了len*（m-1）的长度，那么剩下的长度就是：sum-len*（m-1）=sum-（len*m-len）=sum-sum+len=len，说明剩下的所有木棍的总和就是len，正好就是枚举的原式长度len，那么我们就不用搜了，直接返回就好了；

8.用vis数组标记每根木棍是否用过。另外在dfs回溯的时候别忘了去掉这些标记，这样就不用每次dfs之前memset了（memset用多的话速度可慢了）！

9.我们其实只需枚举到sum/2就行了，如果还拼不成功的话，那么答案只能是sum了；

10.还有一个挺重要的剪枝，但是容易忽略：

当我们剩余长度rest等于当前拼接的木棍的长度时，若拼接失败了，那么直接返回改用之前的木棍；

这一点很难想也很难理解，当时我也特别的懵啊，现在好歹明白了，现在就给你们解释一波吧（解释得不是很到位，可能你们也挺不懂qwq）：

当前长度rest等于正在拼的这个小木棍的长度，所以是不是我们只要把这个小木棍接上去就又拼完了一根木棍？但是我们去拼其他的木棍的时候却拼接失败了，如果我们不返回的话，继续换木棍往下拼，一定是要用几根和为rest的小木棍一块拼才能把那个rest的空补上，那么你原来那个剩下的长度为rest的木棍就搁在那儿了，你想想，前面说过短木棍比长木棍更灵活更好拼，那么你刚刚的操作就相当于，用了好几根短木棍去换下来了一根长木棍，但是那些短木棍都拼不成功，你这一根长木棍不就更拼不成功了吗？ 

有了这么多剪枝，代码跑起来就快多了，下面就是AC代码啦：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()                            //读入优化 
{
    char ch=getchar();
    int a=0,x=1;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-') x=-x;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        a=(a<<3)+(a<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return a*x;
}
int cmp(int x,int y)                   //将小木棍长度从大到小排序 
{
    return x>y;
}
int n,sum,minn,m,len,flag,a[70],vis[70],nxt[70],x,cnt;  
//a数组是合法的每根小木棍的长度
//vis数组是看看每根小木棍是否已经用过
//nxt[i]数组是看看和第i根小木棍出长度相同的所有木棍中的最后一根 
void search(int k,int last,int rest)   //正在拼第k根大木棍，上一根用的小木棍是last，还剩rest
{
    int i,j;
    if(k==m) {flag=1;return ;}         //剪枝7，如果当前正在拼最后一根，那么肯定能拼成，就直接返回吧
    if(rest==0)                        //拼完了第k根，换下一根 
    {
        for(i=1;i<=cnt;i++)            //剪枝3，尽量让更长的小木棍打头  
           if(!vis[i])                 //如果小木棍没用过就试一下  
           {
               vis[i]=1;                  //用过这根木棍了 
            search(k+1,i,len-a[i]);    //搜索第k+1根，上一根用的小木棍是i，还剩len-a[i]   
            vis[i]=0;                  //剪枝8，回溯操作 
            return ;
           }
    } 
    int l=last+1,r=cnt;
    while(l<r)                         //剪枝6，二分找第一根小于等于rest的木棍 
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(a[mid]>rest) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    for(i=l;i<=cnt;i++)                //剪枝4，后面的小木棍都比rest小 
    {
        if(!vis[i]&&rest>=a[i])
        {
            vis[i]=1;
            search(k,i,rest-a[i]);
            if(flag) return ;          //如果能拼成就返回  
            vis[i]=0;                  //剪枝8，回溯操作 
            if(rest==a[i]) return ;    //剪枝10，如果rest和当前的小木棍的长度相同，那就说明后面都拼不成了，直接返回 
            i=nxt[i];                  //剪枝5，跳到和当前木棍长度相同的所有木棍中的最后一根，这样就不用再重复的搜索长度相同的木棍了 
        }
    }
    return ;
} 

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        x=read();    
        if(x>50) continue;               //注意过滤掉长度大于50的小木棍          
        a[++cnt]=x;                    //cnt是实际剩下来的小木棍的数量 
        sum+=x;                        //求出所有长度小于50的小木棍的总和 
    }
    sort(a+1,a+1+cnt,cmp);             //剪枝3，让小木棍从大到小排序 
    nxt[cnt]=cnt;                      //最后一根小木棍的nxt只能是自己，后面没有小木棍了 
    for(int i=cnt-1;i>0;i--)
    {
        if(a[i]==a[i+1]) nxt[i]=nxt[i+1];    //如果和后面的那根的长度相同，那么nxt值相同 
        else nxt[i]=i;                 //如果后面没有长度和它相同的木棍，那么nxt就是自己 
    }
    vis[1]=1;                         
    for(int i=a[1];i<=sum/2;i++)       //剪枝9，枚举可能的每根长度 
    {
        if(sum%i==0)                   //剪枝1 
        {
            m=sum/i;                   //有m根木棍 
            len=i;
            search(1,1,len-a[1]);
            if(flag) 
            {
                printf("%d",len);return 0;
            }
        }
    }
    if(!flag) cout<<sum;
    return 0;
} 

好一道剪枝神搜题啊qwq！累死我了！