高斯消元（Gauss消元）

众所周知，高斯消元可以用来求 $n$ 元一次方程组的，主要思想就是把一个 $n*(n+1)$ 的矩阵的对角线消成 $1$ ，除了第 $n+1$ 列（用来存放 $b$ 的）的其他全部元素消成 $0$ ，是不是听起来有点不可思议？？！

$NO NO NO！$

这不就是初中学的代入消元和加减消元嘛，思路一样的。

$Step 1：$ 将所给出的 $n$ 元一次方程组的每个未知数系数和等号后面的常数写成一个 $n*(n+1)$ 的矩阵

比如这个三元一次方程组我们就可以写成如下 $3×4$ 的矩阵：

$Step 2 ：$ 运用矩阵的各种性质，来将矩阵消成对角线上的元素为 $1$ ，并且除了第 $n+1$ 列其余元素均为 $0$ 的矩阵，

这样我们就很容易的得出每个未知数的值：分别是从上到下第 $n+1$ 列的值（因为这时候每个未知数的系数都为 $1$ ）

那么是神马神奇性质呐？？？找度娘啊

（1）任意交换矩阵的两行或两列，矩阵不变；

（2）矩阵任意行或列 $a_i$ 加上或减去任意 $k$ 倍的任意行或列（ $a_i$ 行也可以加减 $k$ 倍的 $a_i$ 行），矩阵不变；

………………………………

其余的性质这里就用不到啦，这两条性质足矣。

好啦，下面说一下怎么个消法（重点嘤嘤嘤～）

以上面的矩阵为例：

明确我们的目的：把矩阵消成对角线为 $1$ ，除了第 $n+1$ 列其余元素都为 $0$ 。

也就是说，每一列都至少有一个元素不为 $0$ ，若有一列全为 $0$ 肯定有第 $i$ 行第 $i$ 列消不成 $1$ ，此时无解

不理解的话也可以从方程组的数学角度来思考一下：

我们把每个未知数的系数写成矩阵，所以矩阵的某一列就是某一未知数的全部系数，

如果全为 $0$ ，那么不就是没有这个未知数吗？那么这个未知数的值就不能确定了，那不就是无解吗？

知道了这个，我们就可以对这个矩阵进行初步判定：

for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        pl=i;                      //从第i行开始往下找，一直找到一个第i列不为0的行
        while(a[pl][i]==0&&pl<=n) 
        pl++;                                    
         // 判断第i列元素非0的最上行，因为第i行第i列元素不能为0 
        if(pl==n+1) {cout<<"No Solution";return 0;}    
        //一直判到了n+1行，可是一共才只有n行，说明有一列全为0，无解     
                 for(int j=1;j<=n+1;j++)            
                //将第i行元素与第pl行第i列不为0的那一行与当前行交换 
        swap(a[i][j],a[pl][j]);   //保证第i行第i列不为0
        }

这样一来，我们就保证了第 $i$ 行第 $i$ 列的元素不为 $0$ ，可是我们要让第 $i$ 行第 $i$ 列的值整成 $1$ 啊，我们可以用性质 $(2)$ ，让第i行的每个元素都除以第 $i$ 行第 $i$ 列的值

注意：这里用到了除法，就有可能出现小数，所以我们要用 $double$ 类型定义二维数组矩阵

        double k=a[i][i];                          //让第i行每个元素都除以a[i][i]使得a[i][i]为1 
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        a[i][j]=a[i][j]/k;                         //将第i行第i列的元素消成1,注意同行进行同样的操作

我们就让第 $i$ 行第 $i$ 列的元素搞成 $1$ 列，继续完成接下来的任务：顺便把第 $i$ 列的其他元素搞成 $0$ ；

我们已经把第 $i$ 行的搞成了 $1$ ，所以我们只要把其余行的每个元素都减去本行的首元素*第 $i$ 行的对应元素（为什么是第 $i$ 行呢？仗着第 $i$ 行第 $i$ 列的元素是 $1$ 比较好消）

        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i!=j)                        //将第i列除了第i行的元素全消成0 
            {                               //方法是第j行每个元素a[j][m]都减去a[j][1]*a[i][m] 
                double ki=a[j][i];
                for(int m=1;m<=n+1;m++)
                a[j][m]=a[j][m]-ki*a[i][m];
            }
        }

到这里就 $OK$ 啦，最后输出第 $n+1$ 列的元素就是每个未知数的解啦!

完整代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,pl;
double a[1001][1001];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
       for(int j=1;j<=n+1;j++)
       cin>>a[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        pl=i;
        while(a[pl][i]==0&&pl<=n) 
        pl++;                                    
         // 判断第i列首元素非0的最上行，因为第i行第i列元素不能为0 
        if(pl==n+1) {cout<<"No Solution";return 0;}    
        //一直判到了n+1行，可是一共才只有n行，说明有一列全为0，无解 
        for(int j=1;j<=n+1;j++)             //将第i行第i列元素不为0的那一行与当前行交换 
        swap(a[i][j],a[pl][j]);
        double k=a[i][i];                          //让第i行每个元素都除以a[i][i]使得a[i][i]为1 
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        a[i][j]=a[i][j]/k;                         //将第i行第i列的元素消成1,注意同行进行同样的操作 
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i!=j)                        //将第i列除了第i行的元素全消成0 
            {                               //方法是第j行每个元素a[j][m]都减去a[j][1]*a[i][m] 
                double ki=a[j][i];
                for(int m=1;m<=n+1;m++)
                a[j][m]=a[j][m]-ki*a[i][m];
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    printf("%.2lf\n",a[i][n+1]);
    return 0;
}