学数学

费马小定理：$a^p \equiv a (mod  p)$

扩展—欧拉定理：$x^n \equiv x^{n - \varphi(n)}$

p的缩系：{x|(p,x) = 1}

欧拉函数定义：$\varphi(x) = x\prod_{i=1}^{n} (1 - \frac{1}{p_i})$

n!中p的次数：$\sum_{i = 1}^{\infty} (\frac{n}{p_i}) = frac{n - S_p(n)}{p - 1}$，其中$S_p (n)$ 表示 n % p （即p进制下n的最低位

$ p\nmid \dbinom{n}{m} \Leftrightarrow S_p(n) = S_p(m) + S_p(n - m)$ 所以n的p进制每一位都要比m的p进制大
不知道叫什么定理1：$(1 + x)^p \equiv 1 + x^p (mod p)$
Lucas定理：$\dbinom{m}{n} \equiv \prod_{i = 0}^k \dbinom{m_i}{n_i} (mod p)$

其中$\overline{m_k \quad,\quad m_{k-1} \quad……\quad,\quad m_0} $  (p进制) $\overline{n_k \quad,\quad n_{k-1}  \quad……\quad,\quad n_0} $  (p进制)

这有什么用呢？比如说我们可以证明满足$\dbinom{n}{k} \equiv 1(mod 2), (0 \le k  \le n)$ 的k的个数一定是2的幂次个
不知道叫什么定理2：$\sum_{d | n} \varphi(d) = n$
不知道叫什么定理3：$\varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$

关于原根：

1：m > 0, (a, m) = 1, 使$a^r \equiv 1 (mod m)$ 成立的最小的r，称为a对膜m的阶，记为$\delta_m (a)$，原根的个数为$\varphi(\varphi(m))$

2：m > 1, (a, m) = 1  $a^n \equiv 1 (mod m)$ 则 $\delta(a) | n$

3：若p是质数，那么p一定有原根，且在膜p下有$\varphi(p - 1)$ 个原根

4：a在膜m下阶为$\varphi(m)$，则a为膜m下一个原根。

证明：令$\gamma(n)$表示最小的解，那么问题就转化成了证明

$\left \{

\begin{array}

\gamma \quad 积性 \\

\gamma(q^d) = q^d - q^{d - 1}

\end{array} 

\right. $