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学数学

费马小定理:apa(modp)

扩展—欧拉定理:xnxnφ(n)

p的缩系:{x|(p,x) = 1}

欧拉函数定义:φ(x)=xni=1(11pi)

n!中p的次数:i=1(npi)=fracnSp(n)p1,其中Sp(n) 表示 n % p (即p进制下n的最低位

p\nmid \dbinom{n}{m} \Leftrightarrow S_p(n) = S_p(m) + S_p(n - m) 所以n的p进制每一位都要比m的p进制大
不知道叫什么定理1:(1 + x)^p \equiv 1 + x^p (mod p)
Lucas定理:\dbinom{m}{n} \equiv \prod_{i = 0}^k \dbinom{m_i}{n_i} (mod p)

其中\overline{m_k \quad,\quad m_{k-1} \quad……\quad,\quad m_0}  (p进制) \overline{n_k \quad,\quad n_{k-1}  \quad……\quad,\quad n_0}  (p进制)

这有什么用呢?比如说我们可以证明满足\dbinom{n}{k} \equiv 1(mod 2), (0 \le k  \le n) 的k的个数一定是2的幂次个
不知道叫什么定理2:\sum_{d | n} \varphi(d) = n
不知道叫什么定理3:\varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1}

关于原根:

1:m > 0, (a, m) = 1, 使a^r \equiv 1 (mod m) 成立的最小的r,称为a对膜m的阶,记为\delta_m (a),原根的个数为\varphi(\varphi(m))

2:m > 1, (a, m) = 1  a^n \equiv 1 (mod m)\delta(a) | n

3:若p是质数,那么p一定有原根,且在膜p下有\varphi(p - 1) 个原根

4:a在膜m下阶为\varphi(m),则a为膜m下一个原根。

证明:令\gamma(n)表示最小的解,那么问题就转化成了证明

$\left \{

\begin{array}

\gamma \quad 积性 \\

\gamma(q^d) = q^d - q^{d - 1}

\end{array} 

\right. $

 

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