计算理论导论（cheat sheet）

pumping lemma：如果 $A$ 是正则语言，那么存在一个整数 $p$，如果 $s\in A$ 的长度 $\ge p$，那么 $s$ 可以被切分成 3 段 $s=xyz$ 满足：(1) $xy^iz\in A$；(2) $|y|>0$；(3) $|xy|\le p$。（证明：$A$ 是正则语言，根据正则语言的定义说明存在 DFA 接受 $A$，设 $p=|Q|+1$，任意长度 $\ge p$ 的必然走出了环，然后令 $y$ 为最后一个经过的环形成的串）

pumping lemma for CFLs：如果 $A$ 是 $CFLs$，那么存在一个整数 $p$，如果 $s\in A$ 的长度 $\ge p$，那么 $s$ 可以被切分成 5 段 $s=uvxyz$，满足：(1) $uv^ixy^iz\in A$；(2) $|vy|>0$；(3) $|vxy|\le p$。不妨设 $CFG$ 是乔姆斯基范式，如果 $s$ 足够长，必然有变元重复，去最后一个重复的变元，$s$ 可以展开成一个树结构，其中 $x$ 形成的串是 $vxy$ 的子树，并且这两个是由同一个变元展开的，将 $x$ 替换为 $vxy$ 也是在 $A$ 中的，因此 (1) 成立，(2) 显然成立，(3) 是因为是最后一个重复的变元。

$\mathbf{P}=\bigcup_k\mathbf{DTIME}(n^k)$，$\mathbf{NP}=\bigcup_k\mathbf{NTIME}(n^k)$，$\mathbf{EXP}=\bigcup_k\mathbf{DTIME}(2^{n^k})$，$\mathbf{NEXP}=\bigcup_k\mathbf{NTIME}(2^{n^k})$，$\mathbf{PSPACE}=\bigcup_k\mathbf{SPACE(n^k)}$，$\mathbf{NPSPACE}=\bigcup_k\mathbf{NSPACE(n^k)}$，$\mathbf{L}=\mathbf{SPACE}(\log n)$，$\mathbf{NL}=\mathbf{NPSPACE}(\log n)$。

Cook-Levin：$\mathrm{SAT}\in\mathbf{NP}$-$\mathrm{complete}$。对于 $L\in \mathbf{NP}$，设 1-tape 的散漫图灵机判定 $L$，将快照转移过程表示为 $\mathrm{CNF}$，以此说明 $L\le_p \mathrm{SAT}$。

$\mathbf L\subseteq \mathbf{NL}=\mathbf{coNL}\subseteq\mathbf P\subseteq\mathbf{NP}\subseteq\mathbf{PSPACE}=\mathbf{NPSPACE}\subseteq\mathbf{EXP}\subseteq\mathbf{NEXP}$。

$\boldsymbol\Sigma_2^p:x\in L\Leftrightarrow \exists u\in\{0,1\}^{q(|x|)},\forall v\in \{0,1\},M(x,u,v)=1$。同理可得 $\boldsymbol\Pi_2^p$。同理可得 $\boldsymbol \Sigma_n^p$ 和 $\boldsymbol\Pi_{n}^p$。$\boldsymbol\Sigma_k^p\subseteq\boldsymbol\Pi_{k+1}^{p}\subseteq\Sigma_{k+2}^p$。$\mathbf{PH}=\bigcup_k\boldsymbol\Sigma_k^p=\bigcup_k\boldsymbol\Pi_k^p$。对任意 $i\ge 1$，如果 $\boldsymbol\Sigma_k^p=\boldsymbol\Pi_k^k$，则 $\boldsymbol\Sigma_k^p=\mathbf{PH}$。$\mathbf{coNP}=\{L:\overline L\in\mathbf{NP}\}$，$\mathbf{coNP}:x\in L\Leftrightarrow\forall u\in\{0,1\}^{p(x)},M(x,u)=1$。$\mathbf{NL}=\mathbf{coNL}$。$\mathrm{PATH}$ 是 $\mathbf{NL}$ 完全的。如果 $\mathbf{P}=\mathbf{NP}$，则 $\mathbf{PH}=\mathbf{P}$，$\mathbf{BPP}=\mathbf P$。

时间分层定理：$f(n)\log f(n)=o(g(n))$，则 $\mathbf{DTIME}(f(n))\subset \mathbf{DTIME}(g(n))$（证明：构造图灵机 $M$，用通用图灵机模拟 $M_x$ 在 $x$ 上 $O(g(n)/\log n)$ 次，如果停机，返回相反的结果，没停机，返回 $0$。因此 $M$ 是属于 $\mathbf{DTIME}(g(n))$ 的，如果存在 $M^\prime\in \mathbf{DTIME}(f(n))$ 模拟 $M$，那么 $M^\prime(<M^\prime>)=M(<M^\prime>)$，而 $M^\prime$ 是 $\mathbf{DTIME}(f(n))$ 的，因此会停机，因此会返回 $1-M^\prime(<M^\prime>)\neq M(<M^\prime>)$，矛盾）。非确定型时间分层定理：$f(n+1)=o(g(n))$，则 $\mathbf{NTIME}(f(n))\subset\mathbf{NTIME}(g(n))$（证明：惰性对角线方法，不会）。塞维奇定理：$\mathbf{NPSPACE}(S(n))\subseteq \mathbf{SPACE}(S(n)^2)$。空间分层定理：$f(n)=o(g(n))$，则 $\mathbf{SPACE}(f(n))\subset \mathbf{SPACE}(g(n))$。

对数空间规约：$f:\{0,1\}^*\to\{0,1\}^*$ 称为隐式对数空间可计算的，若 $f$ 是多项式有界的，并且语言 $L_f=\{<x,i>|f(x)_i=1\}$ 和语言 $L^\prime_f=\{<x,i>|i\le |f(x)|\}$ 均属于 $\mathbf L$。称语言 $B$ 对数空间可规约到语言 $C$，记为 $B\le_l C$，如果存在隐式对数空间可计算函数 $f$ 使得 $x\in B$ 当且仅当 $f(x)\in C$ 对任意 $x\in\{0,1\}^*$ 成立。

量化布尔公式（$\mathrm{QBF}$）：形如 $Q_1x_1Q_2x_2\dots\varphi(x_1,\dots,x_n)$ 的布尔公式。定义 $\mathrm{TQBF}$ 是所有为真的量化布尔公式构成的语言，$\mathrm{TQBF}$ 是 $\mathbf{PSPACE}$ 完全的（证明：这里只证明 $\forall L\in \mathbf{PSPACE},L\le_p\mathrm{TQBF}$，令 $M$ 是 $S(n)$ 空间内判定 $L$ 的图灵机且 $x\in\{0,1\}^n$，下面构造大小为 $O(S(n)^2)$ 的 $\mathrm{QBF}$ 使得它为真当且仅当 $M$ 接受 $x$，令 $m=O(S(n))$ 是编码 $M$ 在长度为 $n$ 的输入上的格局所需的二进制位的个数，存在布尔公式 $\varphi_{M,x}$ 使得 $\varphi_{M,x}(C,C^\prime)=1\Leftrightarrow C$ 和 $C^\prime$ 是相邻格局，通过 $\varphi_{M,x}$ 构造 $\psi$ 使得大小多项式并且 $\psi(C,C^\prime)=1$ 则存在 $C$ 到 $C^\prime$ 的有向路径，然后将 $C_{start}$ 和 $C_{accept}$ 带入 $\psi$ 得到一个 $\mathrm{QBF}$，这个 $\mathrm{QBF}$ 为真当且仅当 $M$ 接受 $x$，接下来是计算 $\psi$，定义 $\psi_i$ 表示是否存在长度不超过 $2^i$ 的路径，有 $\psi_i(C,C^\prime)=\exists C^{\prime\prime}\psi_{i-1}(C,C^{\prime\prime})\land\psi_{i-1}(C^{\prime\prime},C^\prime)$，然而这个长度太长了，缩减公式规模，$\psi_{i}(C,C^\prime)=\exists C^{\prime\prime}\forall D^1\forall D^2((D^1=C\land D^2=C^{\prime\prime})\lor (D^1=C^{\prime\prime}\land D^2=C^\prime))\Rightarrow \psi_{i-1}(D^1,D^2)$，这样 $\psi_m$ 的规模就是 $O(m^2)$ 的）。$\mathrm{QBF}$-博弈（$\mathbf{PSPACE}$ 完全问题）：$\exists x_1\forall x_2\exists x_3\forall x_4\dots \forall x_{2n}\varphi(x_1,\dots,x_n)=1$。

线路族和语言识别：$T:\mathrm N\to \mathrm N$，$T(n)$ 规模的线路族是一系列布尔线路 $\{C_n\}_{n\in \mathrm N}$，其中 $C_n$ 有 $n$ 个输入位和一个输出位，并且其规模 $|C_n|\le T(n)$ 对任意 $n$ 成立。对于语言 $L$，如果存在 $T(n)$ 规模的线路族 $\{C_n\}_{n\in \mathrm N}$ 使得 $x\in L\Leftrightarrow C_n(x)=1$ 对任意 $x\in \{0,1\}^n$ 成立，则称 $L\in \mathbf{SIZE}(T(n))$。

$\mathbf P_{/\mathbf{poly}}=\bigcup_k\mathbf{SIZE}(n^k)$。$\mathbf P\subset\mathbf P_{/\mathbf{poly}}$（证明：每个运行时间为 $O(T(n))$ 的图灵机 $M$ 均可用运行时间为 $O(T(n)^2)$ 的散漫图灵机 $\tilde M$ 模拟（其带头移动独立于输入）。快照 $z_i$ 由第 $i$ 步时机器的状态和各个带头读取的符号组成，$z_i$ 可以基于一些信息被计算出来，信息包括 $x$、前一步的快照 $z_{i-1}$ 和快照 $z_{i_1},\dots,z_{i_k}$，其中 $i_j$ 表示 $M$ 的第 $j$ 条带的带头在第 $i_j$ 步时停留在第 $i$ 步相同的位置上（由于是散漫图灵机，只与 $i$ 有关）。这个线路是多项式规模，可在多项式时间求得，甚至可在对数空间内计算得到，因为 $f(n,i)$ 表示将长度为 $n$ 运行到第 $i$ 步时带头所处的位置是对数空间可计算的）。所有一元语言均属于 $\mathbf{P_{/\mathbf{poly}}}$（包括部分不可判定问题，如停机问题的一元形式 ：$\mathrm{UHALT}=\{1^n:\text{n是<M,x>二进制编码，M在输入x上停机}\}$）。

一致线路：对于线路族 $\{C_n\}$，如果存在多项式时间的图灵机 $M$ 在输入 $1^n$ 上输出 $C_n$ 的位串表示，则称线路族是 $\{C_n \}$ 是 $\mathbf P$ 一致的。如果将线路限定为 $\mathbf{P}$ 一致线路，则类 $\mathbf{P_{/\mathbf{poly}}}$ 坍塌到类 $\mathbf{P}$。

非一致分层定理：对于任意满足满足 $2^n/n>T^\prime(n)>10T(n)>n$ 的两个函数，均有 $\mathbf{SIZE}(T(n))\subset \mathbf{SIZE}(T^\prime(n))$（证明：对于任意 $\ell$，存在函数 $f:\{0,1\}^\ell\to\{0,1\}$ 不能被规模 $2^{\ell}/(10\ell)$ 的线路计算，但均可被规模 $\frac{2^\ell}\ell(1+o(1))$ 的线路计算）。

类 $\mathbf{NC}$ 和类 $\mathbf{AC}$：对于任意 $d$，如果存在判定语言 $L$ 的线路族 $\{C_n\}$，使得 $C_n$ 的规模为 $\mathrm{poly}(n)$ 且深度为 $O(\log^dn)$，则称 $L$ 属于类 $\mathbf{NC}^d$。类 $\mathbf{NC}=\bigcup_{i\ge 1}\mathbf{NC}^i$。类 $\mathbf{AC}^i$ 的定义与类 $\mathbf{NC}^i$ 的定义类似，不过或门和与门可以作用到多于两个的位上。$\mathbf{AC}=\bigcup_{i\ge 1}\mathbf{AC}^i$。$\mathbf{NC}^i\subseteq \mathbf{AC}^i\subseteq \mathbf{NC}^{i+1}$。$\mathrm{PARITY}=\{x:x\text{含有奇数个1}\}\not \in \mathbf{AC}^0$。$\mathbf{NC}^1\subseteq\mathbf L\subseteq\mathbf{NL}\subseteq\mathbf {AC}^1$（第三个属于的证明：对于输入 $x$，格局图是多项式的，写成矩阵，矩阵乘法是 $\mathbf{AC}^0$ 的，快速幂是 $\mathbf{AC}^1$ 的）。

对数空间一致线路：对于线路族 $\{C_n\}$，如果存在隐式对数空间可计算函数将 $1^n$ 映射为线路 $C_n$ 的位串表示，则称线路族 $\{C_n\}$ 是对数空间一致的。对数空间一致当且仅当如下函数是 $O(\log n)$ 空间可计算的：$\mathrm {SIZE}(n)$ 返回线路规模；$\mathrm{TYPE}(n,i)$ 返回第 $i$ 个点的标记（与，或，非，不存在）；$\mathrm{EDGE}(n,i,j)$ 输出 $1$ 表示线路 $C_n$ 中 $i$ 到 $j$ 有一条有向边。语言 $L$ 存在多项式规模的对数空间一致线路 $\Leftrightarrow L\in \mathbf P$（证明："$\Rightarrow$"：线路可以在多项式时间生成并模拟；"$\Leftarrow$"：见 $\mathbf P\subseteq \mathbf P_{/\mathbf{poly}}$ 的证明，线路是对数空间可计算的）。

纳言图灵机：在每个 $n$ 值上有个建言 $\alpha_n$，可以在输入长度为 $n$ 的任意输入上计算时使用。$\mathbf{P_{/\mathbf{poly}}}=\bigcup_{c,d}\mathbf{DTIME}(n^c)/n^d$。

概率型图灵机：$M$ 在 $T(|x|)$ 时间停机且 $\Pr[M(x)=L(x)]\ge \frac 23$。$\mathbf{BPTIME}(T(n))$ 是概率型图灵机在 $O(T(n))$ 时间内判定的所有语言构成的类，并定义 $\mathbf{BPP}=\bigcup_k\mathbf{BPTIME}(n^k)$。另一种定义：$\Pr_{r\in \mathrm R^{\{0,1\}^{p(|x|)}}}[M(x,r)=L(x)]\ge \frac 23$ 对任意 $x\in\{0,1\}^*$ 成立。根据定义易知 $\mathbf P\subseteq\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{EXP}$。$\mathbf{BPP}\overset{如果\mathbf P=\mathbf{NP}}=\mathbf P$。$\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P_{/\mathbf{poly}}}$（证明：每个 $n$ 可以钦定随机串给 $C_n$，使得没有错误率），$\mathbf{BPP}\subseteq \boldsymbol\Sigma_2^p\cap \boldsymbol\Pi_2^p$。$\mathbf{RTIME}(T(n))$ 包含所有语言 $L$，能被一个运行时间为 $T(n)$ 的概率型图灵机 $M$ 识别，并且 $x\in L\Rightarrow\Pr[M(x)=1]\ge \frac 23$，$x\not \in L\Rightarrow \Pr[M(x)=0]=1$。定义 $\mathbf{RP}=\bigcup_k \mathbf{RTIME}(n^k)$。$\mathbf{ZTIME}(T(n))$ 包含所有语言，它能被一个运行时间的期望为 $T(n)$ 的概率型图灵机 $M$ 识别，且 $M$ 的输出总是正确的。定义 $\mathbf{ZPP}=\bigcup_k\mathbf{ZTIME}(n^k)$。有结论 $\mathbf{ZPP}=\mathbf{RP}\cap\mathbf{coRP}$。同理可以定义出 $\mathbf{BPL}$ 和 $\mathbf{RL}$（$M$ 为 $O(\log n)$ 空间的概率型图灵机）。$\mathrm{UPATH}\in \mathbf{RL}$（无向图连通性判定问题）。注意到 $\mathbf{RL}\subseteq \mathbf{NL}$，进而 $\mathbf{RL}\subseteq \mathbf P$。还有结论 $\mathbf{BPL}\subseteq \mathbf P$（作业题，设 TM $M$ decides $L\in\mathbf{BPL}$，对于一个输入 $M$ 的格局图是多项式的，矩阵幂算出起点到接收状态的概率）。定义 $\mathbf{BP}\cdot\mathbf{NP}=\{L:L\le_r \mathrm{3SAT}\}$。$\mathbf{BP}\cdot\mathbf{NP}\subseteq \mathbf{NP}_{/\mathbf{poly}}$（作业题，$\Pr[L(x)=\mathrm{3SAT(M(x,r))}]\ge \frac 23$，这个 $\frac 23$ 经过多次试验可以取到 $2^{-n-1}$，因此每个 $x$ 最多有 $\frac{2^m}{2^{n+1}}$ 个错误的种子，因此存在种子每个都正确，即存在线路每个都正确，将 $C_n$ 作为 $\mathrm{advice}$ 即可 ）。

随机规约：如果存在多项式时间概率型图灵机使得 $\Pr_r[B(x)=C(M(x,r))]\ge \frac 23$ 对任意 $x\in\{0,1\}^*$ 成立，则 $B\le_rC$。

确定型函数的交互：设 $f,g:\{0,1\}^*\to \{0,1\}^*$ 是两个函数，$k$ 是一个整数（取值可以依赖输入规模），定义 $a_1=f(x),a_2=g(x,a_1),\dots,a_{2i+1}=f(x,a_1,\dots,a_{2i}),a_{2i+2}=g(x,a_1,\dots,a_{2i+1})$，交互结束时 $f$ 的输出定义为 $f(x,a_1,\dots,a_k)$，记为 $\mathrm{out}_f<f,g>(x)\in\{0,1\}$。称语言 $L$ 存在确定型交互证明系统，如果存在确定型图灵机 $V$ 在输入 $x,a_1,\dots,a_i$ 上运行时间是 $|x|$ 的多项式，且 $V$ 可以与任意函数 $P$ 交互 $k$ 个回合，使得：$x\in L\Rightarrow\exists P:\{0,1\}^*\to\{0,1\}^*$ 满足 $\mathrm{out}<f,g>(x)=1$，$x\not\in L\Rightarrow\forall P:\{0,1\}^*\to\{0,1\}^*$ 满足 $\mathrm{out}<f,g>(x)=0$。类 $\mathbf{dIP}$ 包含所有存在 $k(n)=\mathrm{poly(n)}$ 回合确定型交互证明系统的语言。事实上，$\mathbf{dIP}=\mathbf{NP}$（证明：显然任意 $\mathbf{NP}$ 的语言存在1-回合确定型证明系统，现在证明 $L\in \mathbf{dIP}\Rightarrow L\in \mathbf{NP}$，设 $V$ 是 $L\in\mathbf{dIP}$ 的验证者，说明对于输入 $x$ 存在使 $V$ 接受的笔录 $(a_1,\dots,a_k)$，只需查验 $V(x)=a_1,V(x,a_1,a_2)=a_3\dots V(x,a_1,\dots,a_k)=1$ 确实成立，这是 $\mathbf{NP}$ 的。反过来，如果上述笔录存在，则证明者函数 $P$ 可以定义（因为传入了 $x$））。

概率型验证者和类 $\mathbf{IP}$：对于整数 $k\ge 1$（$k$ 可以依赖于输入的长度），称语言 $L$ 属于 $\mathbf{IP}[k]$，如果存在一个概率型多形式时间图灵机 $V$，它可以与任意函数 $P:\{0,1\}^*\to\{0,1\}^*$ 进行 $k$ 个回合的交互使得：$x\in L\Rightarrow\exists P,\Pr[\mathrm{out}<V,P>(x)=1]\ge \frac 23,x\not \in L\Rightarrow \forall P,\Pr[\mathrm{out}<V,P>(x)=1]\le \frac 13$。定义 $\mathbf{IP}=\bigcup_{k\ge 1} \mathbf{IP}[n^k]$。$\mathbf{IP}=\mathbf{PSPACE}$（只需证明 $\mathbf{PSPACE}\subseteq \mathbf{IP}$，转为证明 $\mathrm{TQBF}\in\mathbf{IP}[\mathrm{poly}(n)]$，证明在后面）。证明 $\overline{\mathrm{3SAT}}\in \mathbf{IP}$（转为证明 $\#\mathrm{SAT}_D=\{<\phi,K>:\phi\text{是一个3CNF公式并且恰存在K个满足性赋值}\}\in\mathbf{IP}$，证明者取质数 $p\in (2^n,2^{2n}]$，验证者验证 $p$ 是质数（这里可以是概率型素性测试算法），然后用下面的方法校验）

给定 $d$ 次多项式 $g(X_1,\dots,X_n)$，整数 $K$ 和一个素数 $p$，我们说明证明者如何通过交互式协议向验证者证明论断 $K=\sum_{b_1\in\{0,1\}}\sum_{b_2\in\{0,1\}}\dots\sum_{b_n\in\{0,1\}}g(b_1,\dots,b_n)$，所有计算都在 $\bmod p$ 意义进行，并且 $g$ 具有多项式规模的表示形式，这样验证者就能算 $g(b_1,\dots,b_n)$。和校验协议：$V$：如果 $n=1$，验证 $g(0)+g(1)=K$ 是否成立。如果是，则接受，否则拒绝；如果 $n\ge2$，则要求证明者 $P$ 发送 $h(X_1)=\sum_{b_2\in\{0,1\}}\dots\sum_{b_n\in\{0,1\}}g(X_1,b_1,\dots,b_n)$。$P$：向验证者发送多项式 $s(X_1)$，如果证明者没有“欺骗"验证者，则有 $s(X_1)=h(X_1)$。$V$：如果 $s(0)+s(1)\neq K$ 则拒绝，否则从 $\mathrm F_p$ 中选择一个随机数 $a$，递归地利用本协议验证 $s(a)=\sum_{b_2\in\{0,1\}}\dots\sum_{b_n\in\{0,1\}}g(a,b_2,\dots,b_n)$。

对于 $\mathrm{TQBF}$，$\Psi\in\mathrm{TQBF}\Leftrightarrow \prod_{b_1\in\{0,1\}}\sum_{b_2\in\{0,1\}}\dots\sum_{b_n\in\{0,1\}}P_\phi(b_1,\dots,b_n)\neq 0$。用和校验协议的方法多项式 $h(X_1)$ 的次数太大，注意到 $x^k=x,\forall x\in\{0,1\}$，因此可以将 $X_i$ 的次数变成一次，设这个操作为 $L_{X_i}$，变成如下表达式 $\forall X_1L_1\exists X_2L_1L_2\dots\exists X_nL_1L_2\dots L_nP_\phi(X_1,\dots,X_n)$，这样关于 $h(X_1)$ 的次数就低了。（细节：设 $U(X_1,\dots,X_1)=\mathcal O\ g(X_1,\dots,X_k)$，$l=k$ 或 $k-1$（取决于 $\mathcal O$）。$\mathcal O=\exists X_1$，证明者将一个 $d$ 次多项式 $s(X_1)$ 当作 $g(X_1,a_2,\dots,a_k)$ 发送给验证者。验证者检验 $s(0)+s(1)=C^\prime$ 是否成立。不成立拒绝，否则随机选取 $a\in \mathrm F_p$ 并要求证明者证明 $s(a)=g(a,a_2,\dots,a_k)$。$\mathcal O=\forall X_1$，前面相同，检验 $s(0)s(1)=C'$。$\mathcal O=L_{X_1}$，证明者希望向验证者证明 $U(a_1\dots,a_n)=C'$。证明者将 $d$ 次多项式 $s(X_1)$ 当作 $g(X_1,a_2,\dots,a_n)$，验证者验证 $a_1s(0)+(1-a_1)s(1)=C'$ 是否成立，不成立拒绝，否则随机 $a\in\mathrm F_p$，要求证明者证明 $s(a)=g(a,a_2,\dots,a_k)$。）

$\mathbf{AM}[k]$ 定义为验证者只能发送随机比特 $\mathbf{IP}[k]$，且不能用使用其它的随机比特。结论：$\mathbf{AM}[2]=\mathbf{BP}\cdot \mathbf{NP}$，$k\ge 2$ 时，$\mathbf{AM}[k]=\mathbf{AM}[2]$。事实上，$\mathbf{IP}[k]\subseteq \mathbf{AM}[k+2]$。$\mathrm{GNI}\in\mathbf{AM}[2]$。

Hoeffding's Inequality：独立的随机变量 $X_1,\dots,X_n$，$X_i\in[a_i,b_i]$，令 $X=\sum_{i=1}^n X_i$，$\mu=\mathbb E(X)$，则 $\Pr[X\le \mu-\lambda]\le \exp(\frac{-2\lambda^2}{\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)^2})$，$\Pr[X\ge \mu+\lambda]$ 同理。