数学分析(II)

目录

• 定积分
  • 定义
  • 可积性等价条件
  • 定积分第一中值定理
  • 定积分第二中值定理
  • 带积分余项的泰勒公式
  • 定积分在几何学中的应用
• 广义积分
  • 柯西准则（无穷积分）
  • 狄利克雷判别法（无穷积分）
  • 阿贝尔判别法（无穷积分）
  • 瑕积分
  • 柯西准则（瑕积分）
  • 狄利克雷判别法（瑕积分）
  • 阿贝尔判别法（瑕积分）
• 数项级数
  • 柯西准则 （数项级数）
  • 比较判别法（正项级数）
  • 柯西判别法（正项级数）
  • 拉贝判别法（正项级数）
  • 柯西积分判别法（正项级数）
  • 莱布尼茨交错级数判别法
  • 狄利克雷判别法（数项级数）
  • 阿贝尔判别法（数项级数）
• 函数序列与函数项级数
  • 柯西准则（函数序列一致收敛）
  • 最值判别法（函数序列一致收敛）
  • 魏尔斯特拉斯 $M$​ 判别法（函数项级数）
  • 狄利克雷判别法（函数项级数）
  • 阿贝尔判别法（函数项级数）
  • 狄尼定理
  • 极限函数的连续性
  • 极限函数的积分
  • 极限函数的导数
• 幂级数
  • 收敛半径
  • 引理
  • 阿贝尔定理
  • 魏尔特斯拉斯定理
• 傅里叶级数
  • 狄利克雷积分
  • 黎曼-勒贝格引理
  • 黎曼局部化定理
  • 傅里叶级数的收敛判别法
  • 狄尼定理（傅里叶级数）
  • 李普西茨定理（傅里叶级数）
  • 狄利克雷定理（傅里叶级数）
  • 总结（傅里叶级数收敛性）
  • 魏尔斯特拉斯第二逼近定理
  • 均方收敛
  • Minkowski 不等式
  • 傅里叶级数最佳逼近
  • 帕塞瓦尔等式
  • 傅里叶级数的一致收敛性

回到顶部

定积分

定义

略

可积性等价条件

设函数在区间 $[a,b]$ 上有界，则 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积等价于：

(1)对于 $\forall \varepsilon>0$，存在区间 $[a,b]$ 的分割 $\Delta$，使得

$$\sum_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i<\varepsilon$$

(2)对于 $\forall \varepsilon>0,\forall \sigma>0$，存在区间 $[a,b]$ 的一个分割 $\Delta$，使得 $\omega_i\ge \varepsilon$ 的小区间 $\Delta x_i$ 的长度总和小于 $\sigma$

定积分第一中值定理

设函数 $f(x)\in C[a,b]$，$g(x)\in R[a,b]$ 且在区间 $[a,b]$ 不变号，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得

$$\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=f(\xi)\int_{a}^bg(x)dx$$

定积分第二中值定理

设函数 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上单调上升的函数且 $f(x)\ge 0$，$g(x)\in R[a,b]$，则存在 $\xi\in [a,b]$，使得

$$\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=f(b)\int_{\xi}^bg(x)\mathrm dx$$

其它形式：如果这里的$f(x)$ 只有单调，那么存在 $\xi\in [a,b]$，使得

$$\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=f(a)\int_a^\xi g(x)\mathrm dx+f(b)\int_\xi^b g(x)\mathrm dx$$

带积分余项的泰勒公式

$$R_n(x)=\frac 1{n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n\mathrm dt=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

定积分在几何学中的应用

略

回到顶部

广义积分

柯西准则（无穷积分）

设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty]$ 有定义，对于 $\forall X>a$，$f(x)\in [a,X]$，则无穷积分 $\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx$ 收敛的充要条件是：对于 $\forall \varepsilon>0,\exists M>a$，当 $X_2>X_1>M$ 时，有

$$|\int_{X_1}^{X_2}f(x)\mathrm dx|<\varepsilon$$

狄利克雷判别法（无穷积分）

设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty]$ 上有定义，且满足两个条件：

(1)对于 $\forall X>a$，$g(x)\in R[a,X]$，并且 $\exists M>0$，使得 $\forall X>a$，有

$$|\int_a^X g(x)\mathrm dx|\le M$$

(2) $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 单调，并且 $\lim_{x\to +\infty}f(x)=0$，

则无穷积分 $\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx$ 收敛

阿贝尔判别法（无穷积分）

设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty]$ 上有定义，并且满足下面两个条件：

(1)对于 $\forall X>a$，$g(x)\in R[a,X]$，并且 $\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm dx$ 收敛

(2) $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 单调有界

瑕积分

称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个瑕点，如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心（左或右）邻域邻域内有定义，但在该去心（左或右）邻域内误解

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上有定义， $a$ 是 $f(x)$ 的一个瑕点，若对于 $\forall 0<\delta<b-a$，$f(x)$ 在区间 $[a+\delta,b]$ 上可积，且极限

$$\lim_{\delta\to 0+0}\int_{a+\delta}^b f(x)\mathrm dx$$

存在，则称瑕积分 $\int_{a}^b f(x)\mathrm dx$ 收敛，并记

$$\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\delta\to 0+0}\int_{a+\delta}^b f(x)\mathrm dx$$

之后关于瑕积分的讨论，总是假定 $b$ 是瑕点，并且在 $[a,b)$ 的任意子区间上可积

柯西准则（瑕积分）

瑕积分 $\int_a^b f(x)\mathrm dx$ 收敛的充要条件是：对于 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0$，当 $0<\delta_2<\delta_1<\delta$ 时，有

$$|\int_{b-\delta_1}^{b-\delta_2}f(x)\mathrm dx|<\varepsilon$$

狄利克雷判别法（瑕积分）

设 $f(x),g(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上满足下述条件：

(1) $\exists M>0$，使得对于 $\forall \delta>0$，有

$$|\int_a^{b-\delta}g(x)\mathrm dx|\le M$$

(2) $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上单调，且 $\lim_{x\to b-}f(x)=0$

则瑕积分 $\int_{a}^b f(x)g(x)\mathrm dx$ 收敛

阿贝尔判别法（瑕积分）

(1) $\int_a^b g(x)\mathrm dx$ 收敛

(2) $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上单调有界

则瑕积分 $\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx$ 收敛

回到顶部

数项级数

柯西准则 （数项级数）

设 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ 是一个数项级数，则它收敛的充要条件是：对于 $\forall \varepsilon>0,\exists N>0$，当 $n>m>N$ 时有

$$|\sum_{k=m+1}^n a_k|<\varepsilon$$

比较判别法（正项级数）

若存在 $c>0$，$a_n\le cb_n$，则 $\sum_{n=1}^{+\infty}b_n$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 也收敛

柯西判别法（正项级数）

记 $\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ 为一个正项级数，记

$$\overline{\lim_{n\to \infty}} \sqrt[n]{a_n}=r$$

(1)当 $r<1$ 时，收敛

(2)当 $r>1$ 时，发散

拉贝判别法（正项级数）

计算 $n\to +\infty$ 时

$$n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)$$

的上下极限，若下极限大于 $1$，那么收敛，若上极限小于 $1$，则发散

柯西积分判别法（正项级数）

略

莱布尼茨交错级数判别法

设 $\{a_n\}$ 单调趋于 $0$，则交错级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}a_n$ 收敛

狄利克雷判别法（数项级数）

$\{a_n\}$ 的部分和序列有界，$\{b_n\}$ 单调趋于 $0$，则数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}a_nb_n$ 收敛

阿贝尔判别法（数项级数）

$\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ 收敛，序列 $\{b_n\}$ 单调有界，则 $\sum_{n=1}^{+\infty}a_nb_n$ 收敛

回到顶部

函数序列与函数项级数

柯西准则（函数序列一致收敛）

$\{f_n(x)\}$ 是定义在 $I\subset \mathbb R$ 的函数序列，则在 $I$ 上一致收敛充要条件是：对于 $\forall\varepsilon>0$，存在 $N\in \mathbb N$，当 $n,m>N$ 时，对于一切 $x\in I$，有

$$|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$$

最值判别法（函数序列一致收敛）

$\{f_n(x)\}$，$I$，则 $f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in I)$ 的充要条件是

$$\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in I}\{|f_n(x)-f(x)|\}=0$$

魏尔斯特拉斯 $M$​ 判别法（函数项级数）

若存在正数序列 $M_n$，满足 $|u_n(x)|\le M_n,\forall x\in I$，并且 $\sum_{i=1}^{+\infty}M_n$ 收敛

则 $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)$ 绝对一致收敛

狄利克雷判别法（函数项级数）

设函数序列 $\{u_n(x)\},\{v_n(x)\}$ 在 $I\subset \mathbb R$ 上有定义，且：

(1) $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)$ 的部分和序列在 $I$ 上一致有界

(2) $\forall x$，$v_n(x)$ 是单调的，且 $v_n(x)\rightrightarrows 0(x\in I)$

则 $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)v_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛

阿贝尔判别法（函数项级数）

(1) $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛

(2) $\forall x$，$v_n(x)$ 是单调的，且 $\{v_n\}$ 在 $I$ 上一致有界

则 $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)v_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛

狄尼定理

设 $f_n(x)\in C[a,b]$，$f_n(x)\le f_{n+1}(x)$，$\lim_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)$

则 $f(x)\in C[a,b]\Leftrightarrow f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])$

极限函数的连续性

设函数 $f_n(x)\in C[a,b](n=1,2,\dots)$，且 $f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])$，则 $f(x)\in C[a,b]$

更强的结论：设 ​$\{f_n(x)\}$​​ 是定义在 ​$[a,b]\backslash \{x_0\}$​​ 上的函数序列，其中 $x_0\in [a,b]$，如果 $f_n(x)\rightrightarrows f(x),(x\in [a,b]\backslash \{x_0\})$，并且对每个 $n\ge 1$，有 $\lim_{x\to x_0}f(x)=c_n$，则 $\lim_{n\to \infty}c_n$ 存在，并且有 $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{n\to +\infty}c_n$

极限函数的积分

$f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，并且成立

$$\lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x)\mathrm dx=\int_a^b f(x)\mathrm dx=\int_a^b\lim_{n\to \infty}f_n(x)\mathrm dx$$

换成函数项级数的写法，$u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 可积，且 $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 一致收敛，则 $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)$ 的和函数在 $[a,b]$ 可积，并且成立：

$$\int_a^b(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x))\mathrm dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_a^b u_n(x)\mathrm dx$$

极限函数的导数

设函数 $f_n(x)$ 在区间 $[a,b]$ 可微，且满足：

(a)存在 $x_0\in [a,b]$，使得 $\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)$ 存在

(b) $f^\prime_n(x)\rightrightarrows g(x)(x\in [a,b])$

则有结论：

(1)存在 $[a,b]$ 上的函数 $f(x)$，使得 $f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])$

(2) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微（端点单侧可微），并且 $f^\prime(x)=g(x)$，即

$$\lim_{n\to\infty}f^\prime_n(x)=[\lim_{n\to\infty}f_n(x)]^\prime$$

回到顶部

幂级数

收敛半径

对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，记 $\rho=\overline{\lim}_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$，则收敛半径为 $\frac 1\rho$

对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，记 $\rho=lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$，则收敛半径为 $\frac 1\rho$

引理

设幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ 在 $x_0\neq 0$ 处收敛，则该级数在 $(-|x_0|,|x_0|)$ 内闭绝对一致收敛

证明：只需证明任意 $0<\delta_0<1$​，在 $[-\delta_0|x_0|,\delta_0|x_0|]$​ 上一致收敛，由于 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx_0^n$​ 收敛，因此 $\lim_{n\to+\infty}a_nx_0^n=0$​，因此存在 $M>0$​，对于所有 $n$​，$|a_nx_0^n|\le M$​，于是对于 $\forall x\in[-\delta_0|x_0|,\delta_0|x_0|]$​，有 $|a_nx^n|\le M\delta_0^n$​，而 $M\delta_0^n$​ 收敛，因此 $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$​ 在 $[-\delta_0|x_0|,\delta_0|x_0|]$​ 上一致收敛

阿贝尔定理

设幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ 的收敛半径为 $R>0$，则

(1) $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ 在 $(-R,R)$ 内一致收敛

(2) 若 $\sum_{n=0}^{+\infty}R^n$ 收敛，则 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ 在 $(-R,R]$ 的任何闭子区间一致收敛

(3) 若 $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^na_nR^n$ 收敛，则 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ 在 $[-R,R)$ 的任何闭子区间一致收敛

(1)的证明可以通过引理直接得到

(2)的只需证明在 $[0,R]$ 上一致收敛，令 $u_n(x)=a_nR^n$，$v_n(x)=(\frac xR)^n$，通过阿贝尔判别法即证

魏尔特斯拉斯定理

设函数 $f(x)\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 可被多项式逼近

回到顶部

傅里叶级数

狄利克雷积分

若周期函数 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$，则可形式的得到其傅里叶级数：

$$f(x)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

其中

$$a_n=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx \mathrm dx$$

$$b_n=\frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\mathrm dx$$

现在来考察 $f(x)$ 的傅里叶级数部分和序列，对于 $\forall x\in\mathbb N$，有

$$\begin{aligned} S_n(x)&=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(u)\frac{\sin(n+\frac 12)(u-x)}{2\sin\frac{u-x}{2}}\mathrm du\\ &=\frac 1\pi\int_{0}^\pi(f(x+t)+f(x-t))\frac{\sin(n+\frac 12)t}{2\sin \frac{t}{2}}\mathrm dt \end{aligned}$$

若取 $f(x)=1$，则 $S_n(x)$，说明

$$1=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(n+\frac 12)t}{2\sin\frac t2}=2\int_0^\pi D_n(t)\mathrm dt$$

其中称

$$D_n(t)=\frac{\sin(n+\frac 12)t}{2\pi\sin \frac t2}$$

为狄利克雷和，称

$$\int_0^\pi \frac{f(x+t)+f(x-t)}2 D_n(t)\mathrm dt$$

为狄利克雷积分

现取定 $x_0\in[\pi,\pi]$，研究 $f(x)$ 的狄利克雷部分和序列 $\{S_n(x_0)\}$ 是否以 $S_0$ 为极限

$$\begin{aligned} S_n(x_0)-S_0&=\int_{0}^\pi(f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S_0) D_n(t)\mathrm dt\\ &=\int_{0}^\pi G(t)\sin(n+\frac 12)t\mathrm dt \end{aligned}$$

其中

$$G(t)=\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S_0}{2\pi \sin\frac{t}{2}}$$

黎曼-勒贝格引理

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积或有有瑕点时绝对可积，则

$$\lim_{\lambda\to +\infty}\int_{a}^b f(x)\sin\lambda x\mathrm dx=\lim_{\lambda\to +\infty}\int_a^b f(x)\cos \lambda x\mathrm dx=0$$

证明分两种情况：

(1) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，说明有上界 $M$，$|f(x)|\le M,\forall x\in [a,b]$

对于 $\forall \varepsilon>0$，有分割满足

$$\sum_{i=1}^N(M_i-m_i)\Delta x_i<\frac \varepsilon 2$$

因此有

$$\begin{aligned} |\int_a^b f(x)\sin \lambda x\mathrm dx|&=|\sum_{i=1}^N\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)\sin \lambda x \mathrm dx|\\ &\le |\sum_{i=1}^N\int_a^b (f(x)-m_i)\sin \lambda x\mathrm dx|+|\sum_{i=1}^N m_i\int_a^b \sin\lambda x\mathrm dx|\\ &\le \sum_{i=1}^N(M_i-m_i)\Delta x_i+\frac 2\lambda\sum_{i=1}^N|m_i|\\ &\le \frac{\varepsilon}2+\frac{2NM}{\lambda}\to 0 \end{aligned}$$

(2) $f(x)$​ 在 $[a,b]$​ 上有瑕点

不妨假设只有一个瑕点，由于绝对可积，存在一个邻域，积分不超过 $\frac \varepsilon 3$，然后左右都用 (1) 的证明，使得积分不超过 $\frac \varepsilon 3$，总的就不超过 $\varepsilon$

黎曼局部化定理

因为 $G$ 在 $0$ 的邻域外没有瑕点或有瑕点也是绝对可积的，通过黎曼类贝格引理，可得

$$\int_\delta^\pi G(t)\sin(n+\frac 12)t\mathrm dt\to 0\ (n\to \infty)$$

而式子中的 $2\sin \frac t2$ 又能被等价无穷小 $t$ 替换，因为这两东西相减得到的函数在 $0$ 处是 $0$，并且连续有界，通过黎曼类贝格可以得到差的极限是 $0$，因此极限相同，因此

$$\lim_{n\to \infty}\int_0^\delta f(t)\frac{\sin(n+\frac 12)t}{2\sin \frac t2}\mathrm dt=\lim_{n\to \infty}\int_0^\delta f(t)\frac{\sin(n+\frac 12)t}{t}\mathrm dt$$

注：两式具有相同敛散性，并且收敛时具有相同的极限

傅里叶级数的收敛判别法

在 $x_0$ 处收敛到 $S_0$ 的充要条件是：对充分小的正数 $\delta$，

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^\delta\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S_0}{t} \sin(n+\frac 12)t=0$$

令

$$\varphi(t)=f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S_0$$

狄尼定理（傅里叶级数）

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，在 $[-\pi,\pi]$ 可积或有瑕点时绝对可积，并且对于 $x_0\in[-\pi,\pi]$，存在 $\delta>0$，

$$\int_0^\delta \frac{|\varphi(t)|}{t}\mathrm dt<+\infty$$

那么在 $x_0$ 处收敛到 $S_0$

证明：直接黎曼勒贝格

可推出下面的李普西茨定理

李普西茨定理（傅里叶级数）

$f(x)$ Holder 连续，则收敛

狄利克雷定理（傅里叶级数）

存在 $\delta_0>0$，使得 $f(x)$ 在 $(x_0-\delta_0,x_0)$ 和 $(x_0,x_0+\delta_0)$ 内分别单调，则收敛

总结（傅里叶级数收敛性）

若 $f(x)$ 满足一下条件之一：

(1) 在 $[-\pi,\pi]$ 上分段可微

(2) 有界变差（分段单调）

(3) Holder 连续

则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $x_0$ 处收敛到 $\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}$

魏尔斯特拉斯第二逼近定理

设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数，则存在

$$T_n(x)=\frac{\alpha_0}2+\sum_{k=1}^n(\alpha_k\cos kx+\beta_k\sin kx)\ (n=1,2,\dots)$$

使得 $\forall \varepsilon>0$，存在 $N\in \mathbb N$，当 $n>N$ 时，对一切 $x\in(-\infty,+\infty)$，有 $|T_n(x)-f(x)|<\varepsilon$

结论：

记 $S_n^*(x)=\frac{S_0(x)+S_1(x)+\dots+S_n(x)}{n+1}$

有 $S^*_n(x)\rightrightarrows f(x)$

均方收敛

设 $f(x),f_n(x)(n=1,2,\dots)$ 在 $[a,b]$ 平方可积，并且满足

$$\lim_{n\to \infty}\int_a^b[f_n(x)-f(x)]^2\mathrm dx=0$$

称函数序列 $\{f_n(x)\}$ 均方收敛于 $f(x)$

由于 $|f(x)|\le \frac{f^2(x)+1}{2}$，因此平方可积总是比绝对可积强

对于区间 $[a,b]$ 上的平方可积函数 $f(x),g(x)$，有：

(1) $f(x)g(x)$ 绝对可积

(2) $f(x)+g(x)$ 平方可积

(1)的证明：$f(x)g(x)\le \frac{f^2(x)+g^2(x)}{2}$，因此(1)成立

(2)的证明：

$$0\le \int_a^b(t|f|+|g|)^2\mathrm dx=t^2\int_a^b f^2\mathrm dx+2t\int_a^b|fg|\mathrm dx+\int_a^b g^2\mathrm dx$$

判别式 $\Delta\le 0$，因此

$$\int_a^b |fg|\mathrm dx\le \left[\int_a^b f^2\mathrm dx\right]^{\frac 12}\left[\int_a^b g^2\mathrm dx\right]^{\frac 12}$$

利用这个不等式，还有：

$$\begin{aligned} &\int (f+g)^2\mathrm dx\\ &=\int f^2\mathrm dx+2\int fg\mathrm dx+\int g^2\mathrm dx\\ &\le \int f^2\mathrm dx+2\sqrt{\int f^2\mathrm dx}\sqrt{\int g^2\mathrm dx}+\int g^2\mathrm dx\\ &=\left[\sqrt{\int f^2\mathrm dx}+\sqrt{\int g^2\mathrm dx}\right]^2 \end{aligned}$$

由此得到

Minkowski 不等式

$$\left\{\int_a^b\left[f(x)+g(x)\right]^2\mathrm dx\right\}^{\frac 12} \le \left[\int_a^b f^2(x)\mathrm dx\right]^{\frac 12}+\left[\int_a^b g^2(x)\mathrm dx\right]^{\frac 12}$$

直接看出 $f(x)+g(x)$ 平方可积

傅里叶级数最佳逼近

设 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积或有瑕点时平方可积，设其部分和序列为 $\{S_n(x)\}$，则任何 $n$ 阶三角多项式 $T_n(x)$，均方误差都大于等于 $S_n(x)$ 的均方误差

帕塞瓦尔等式

设 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积或有瑕点时平方可积，则有

$$\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)=\frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)\mathrm dx$$

广义帕塞瓦尔等式：

$$\frac{a_0\alpha_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\alpha_n+b_n\beta_n)=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\mathrm dx$$

傅里叶级数的一致收敛性

$f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，在 $[-\pi,\pi]$ 可导，且 $f'(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积，则傅里叶级数在 $(-\infty,\infty)$ 上收敛到 $f(x)$