数学分析(II)

定积分

定义

可积性等价条件

设函数在区间 [a,b] 上有界,则 f(x) 在区间 [a,b] 上可积等价于:

(1)对于 ε>0,存在区间 [a,b] 的分割 Δ,使得

i=1nωiΔxi<ε

(2)对于 ε>0,σ>0,存在区间 [a,b] 的一个分割 Δ,使得 ωiε 的小区间 Δxi 的长度总和小于 σ

定积分第一中值定理

设函数 f(x)C[a,b]g(x)R[a,b] 且在区间 [a,b] 不变号,则存在 ξ[a,b],使得

abf(x)g(x)dx=f(ξ)abg(x)dx

定积分第二中值定理

设函数 f(x) 是区间 [a,b] 上单调上升的函数且 f(x)0g(x)R[a,b],则存在 ξ[a,b],使得

abf(x)g(x)dx=f(b)ξbg(x)dx

其它形式:如果这里的f(x) 只有单调,那么存在 ξ[a,b],使得

abf(x)g(x)dx=f(a)aξg(x)dx+f(b)ξbg(x)dx

带积分余项的泰勒公式

Rn(x)=1n!x0xf(n+1)(t)(xt)ndt=f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1

定积分在几何学中的应用

广义积分

柯西准则(无穷积分)

设函数 f(x)[a,+] 有定义,对于 X>af(x)[a,X],则无穷积分 a+f(x)dx 收敛的充要条件是:对于 ε>0,M>a,当 X2>X1>M 时,有

|X1X2f(x)dx|<ε

狄利克雷判别法(无穷积分)

f(x),g(x)[a,+] 上有定义,且满足两个条件:

(1)对于 X>ag(x)R[a,X],并且 M>0,使得 X>a,有

|aXg(x)dx|M

(2) f(x)[a,+) 单调,并且 limx+f(x)=0

则无穷积分 a+f(x)g(x)dx 收敛

阿贝尔判别法(无穷积分)

f(x),g(x)[a,+] 上有定义,并且满足下面两个条件:

(1)对于 X>ag(x)R[a,X],并且 a+g(x)dx 收敛

(2) f(x)[a,+) 单调有界

瑕积分

x0f(x) 的一个瑕点,如果 f(x)x0 的某个去心(左或右)邻域邻域内有定义,但在该去心(左或右)邻域内误解

设函数 f(x) 在区间 (a,b] 上有定义, af(x) 的一个瑕点,若对于 0<δ<baf(x) 在区间 [a+δ,b] 上可积,且极限

limδ0+0a+δbf(x)dx

存在,则称瑕积分 abf(x)dx 收敛,并记

abf(x)dx=limδ0+0a+δbf(x)dx

之后关于瑕积分的讨论,总是假定 b 是瑕点,并且在 [a,b) 的任意子区间上可积

柯西准则(瑕积分)

瑕积分 abf(x)dx 收敛的充要条件是:对于 ε>0,δ>0,当 0<δ2<δ1<δ 时,有

|bδ1bδ2f(x)dx|<ε

狄利克雷判别法(瑕积分)

f(x),g(x) 在区间 [a,b) 上满足下述条件:

(1) M>0,使得对于 δ>0,有

|abδg(x)dx|M

(2) f(x)[a,b) 上单调,且 limxbf(x)=0

则瑕积分 abf(x)g(x)dx 收敛

阿贝尔判别法(瑕积分)

(1) abg(x)dx 收敛

(2) f(x)[a,b) 上单调有界

则瑕积分 abf(x)g(x)dx 收敛

数项级数

柯西准则 (数项级数)

n=1+an 是一个数项级数,则它收敛的充要条件是:对于 ε>0,N>0,当 n>m>N 时有

|k=m+1nak|<ε

比较判别法(正项级数)

若存在 c>0ancbn,则 n=1+bn 收敛时,n=1an 也收敛

柯西判别法(正项级数)

n=1+an 为一个正项级数,记

limn¯ann=r

(1)当 r<1 时,收敛

(2)当 r>1 时,发散

拉贝判别法(正项级数)

计算 n+

n(anan+11)

的上下极限,若下极限大于 1,那么收敛,若上极限小于 1,则发散

柯西积分判别法(正项级数)

莱布尼茨交错级数判别法

{an} 单调趋于 0,则交错级数 n=1+(1)n1an 收敛

狄利克雷判别法(数项级数)

{an} 的部分和序列有界,{bn} 单调趋于 0,则数项级数 n=1+anbn 收敛

阿贝尔判别法(数项级数)

n=1+an 收敛,序列 {bn} 单调有界,则 n=1+anbn 收敛

函数序列与函数项级数

柯西准则(函数序列一致收敛)

{fn(x)} 是定义在 IR 的函数序列,则在 I 上一致收敛充要条件是:对于 ε>0,存在 NN,当 n,m>N 时,对于一切 xI,有

|fn(x)fm(x)|<ε

最值判别法(函数序列一致收敛)

{fn(x)}I,则 fn(x)f(x)(xI) 的充要条件是

limnsupxI{|fn(x)f(x)|}=0

魏尔斯特拉斯 M​ 判别法(函数项级数)

若存在正数序列 Mn,满足 |un(x)|Mn,xI,并且 i=1+Mn 收敛

n=1+un(x) 绝对一致收敛

狄利克雷判别法(函数项级数)

设函数序列 {un(x)},{vn(x)}IR 上有定义,且:

(1) n=1+un(x) 的部分和序列在 I 上一致有界

(2) xvn(x) 是单调的,且 vn(x)0(xI)

n=1+un(x)vn(x)I 上一致收敛

阿贝尔判别法(函数项级数)

(1) n=1+un(x)I 上一致收敛

(2) xvn(x) 是单调的,且 {vn}I 上一致有界

n=1+un(x)vn(x)I 上一致收敛

狄尼定理

fn(x)C[a,b]fn(x)fn+1(x)limnfn(x)=f(x)

f(x)C[a,b]fn(x)f(x)(x[a,b])

极限函数的连续性

设函数 fn(x)C[a,b](n=1,2,),且 fn(x)f(x)(x[a,b]),则 f(x)C[a,b]

更强的结论:设 ​{fn(x)}​​ 是定义在 ​[a,b]{x0}​​ 上的函数序列,其中 x0[a,b],如果 fn(x)f(x),(x[a,b]{x0}),并且对每个 n1,有 limxx0f(x)=cn,则 limncn 存在,并且有 limxx0f(x)=limn+cn

极限函数的积分

fn(x)[a,b] 上可积,且 fn(x)f(x)(x[a,b]),则 f(x)[a,b] 上可积,并且成立

limnabfn(x)dx=abf(x)dx=ablimnfn(x)dx

换成函数项级数的写法,un(x)[a,b] 可积,且 n=1+un(x)[a,b] 一致收敛,则 n=1+un(x) 的和函数在 [a,b] 可积,并且成立:

ab(n=1+un(x))dx=n=1+abun(x)dx

极限函数的导数

设函数 fn(x) 在区间 [a,b] 可微,且满足:

(a)存在 x0[a,b],使得 limnfn(x0) 存在

(b) fn(x)g(x)(x[a,b])

则有结论:

(1)存在 [a,b] 上的函数 f(x),使得 fn(x)f(x)(x[a,b])

(2) f(x)[a,b] 上可微(端点单侧可微),并且 f(x)=g(x),即

limnfn(x)=[limnfn(x)]

幂级数

收敛半径

对于幂级数 n=0anxn,记 ρ=lim¯n|an|n,则收敛半径为 1ρ

对于幂级数 n=0anxn,记 ρ=limn|an+1an|,则收敛半径为 1ρ

引理

设幂级数 n=0+anxnx00 处收敛,则该级数在 (|x0|,|x0|) 内闭绝对一致收敛

证明:只需证明任意 0<δ0<1​,在 [δ0|x0|,δ0|x0|]​ 上一致收敛,由于 n=0+anx0n​ 收敛,因此 limn+anx0n=0​,因此存在 M>0​,对于所有 n​,|anx0n|M​,于是对于 x[δ0|x0|,δ0|x0|]​,有 |anxn|Mδ0n​,而 Mδ0n​ 收敛,因此 n=0|anxn|​ 在 [δ0|x0|,δ0|x0|]​ 上一致收敛

阿贝尔定理

设幂级数 n=0+anxn 的收敛半径为 R>0,则

(1) n=0+anxn(R,R) 内一致收敛

(2) 若 n=0+Rn 收敛,则 n=0+anxn(R,R] 的任何闭子区间一致收敛

(3) 若 n=0+(1)nanRn 收敛,则 n=0+anxn[R,R) 的任何闭子区间一致收敛

(1)的证明可以通过引理直接得到

(2)的只需证明在 [0,R] 上一致收敛,令 un(x)=anRnvn(x)=(xR)n,通过阿贝尔判别法即证

魏尔特斯拉斯定理

设函数 f(x)C[a,b],则 f(x) 可被多项式逼近

傅里叶级数

狄利克雷积分

若周期函数 f(x)[π,π],则可形式的得到其傅里叶级数:

f(x)a02+n=1+(ancosnx+bnsinnx)

其中

an=1πππf(x)cosnxdx

bn=1πππf(x)sinnxdx

现在来考察 f(x) 的傅里叶级数部分和序列,对于 xN,有

Sn(x)=1πππf(u)sin(n+12)(ux)2sinux2du=1π0π(f(x+t)+f(xt))sin(n+12)t2sint2dt

若取 f(x)=1,则 Sn(x),说明

1=2π0πsin(n+12)t2sint2=20πDn(t)dt

其中称

Dn(t)=sin(n+12)t2πsint2

为狄利克雷和,称

0πf(x+t)+f(xt)2Dn(t)dt

为狄利克雷积分

现取定 x0[π,π],研究 f(x) 的狄利克雷部分和序列 {Sn(x0)} 是否以 S0 为极限

Sn(x0)S0=0π(f(x0+t)+f(x0t)2S0)Dn(t)dt=0πG(t)sin(n+12)tdt

其中

G(t)=f(x0+t)+f(x0t)2S02πsint2

黎曼-勒贝格引理

设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上可积或有有瑕点时绝对可积,则

limλ+abf(x)sinλxdx=limλ+abf(x)cosλxdx=0

证明分两种情况:

(1) f(x)[a,b] 上可积

f(x)[a,b] 上可积,说明有上界 M|f(x)|M,x[a,b]

对于 ε>0,有分割满足

i=1N(Mimi)Δxi<ε2

因此有

|abf(x)sinλxdx|=|i=1Nxi1xif(x)sinλxdx||i=1Nab(f(x)mi)sinλxdx|+|i=1Nmiabsinλxdx|i=1N(Mimi)Δxi+2λi=1N|mi|ε2+2NMλ0

(2) f(x)​ 在 [a,b]​ 上有瑕点

不妨假设只有一个瑕点,由于绝对可积,存在一个邻域,积分不超过 ε3,然后左右都用 (1) 的证明,使得积分不超过 ε3,总的就不超过 ε

黎曼局部化定理

因为 G0 的邻域外没有瑕点或有瑕点也是绝对可积的,通过黎曼类贝格引理,可得

δπG(t)sin(n+12)tdt0 (n)

而式子中的 2sint2 又能被等价无穷小 t 替换,因为这两东西相减得到的函数在 0 处是 0,并且连续有界,通过黎曼类贝格可以得到差的极限是 0,因此极限相同,因此

limn0δf(t)sin(n+12)t2sint2dt=limn0δf(t)sin(n+12)ttdt

注:两式具有相同敛散性,并且收敛时具有相同的极限

傅里叶级数的收敛判别法

x0 处收敛到 S0 的充要条件是:对充分小的正数 δ

limn0δf(x0+t)+f(x0t)2S0tsin(n+12)t=0

φ(t)=f(x0+t)+f(x0t)2S0

狄尼定理(傅里叶级数)

f(x) 是周期为 2π 的函数,在 [π,π] 可积或有瑕点时绝对可积,并且对于 x0[π,π],存在 δ>0

0δ|φ(t)|tdt<+

那么在 x0 处收敛到 S0

证明:直接黎曼勒贝格

可推出下面的李普西茨定理

李普西茨定理(傅里叶级数)

f(x) Holder 连续,则收敛

狄利克雷定理(傅里叶级数)

存在 δ0>0,使得 f(x)(x0δ0,x0)(x0,x0+δ0) 内分别单调,则收敛

总结(傅里叶级数收敛性)

f(x) 满足一下条件之一:

(1) 在 [π,π] 上分段可微

(2) 有界变差(分段单调)

(3) Holder 连续

f(x) 的傅里叶级数在 x0 处收敛到 f(x00)+f(x0+0)2

魏尔斯特拉斯第二逼近定理

f(x) 是以 2π 为周期的连续函数,则存在

Tn(x)=α02+k=1n(αkcoskx+βksinkx) (n=1,2,)

使得 ε>0,存在 NN,当 n>N 时,对一切 x(,+),有 |Tn(x)f(x)|<ε

结论:

Sn(x)=S0(x)+S1(x)++Sn(x)n+1

Sn(x)f(x)

均方收敛

f(x),fn(x)(n=1,2,)[a,b] 平方可积,并且满足

limnab[fn(x)f(x)]2dx=0

称函数序列 {fn(x)} 均方收敛于 f(x)

由于 |f(x)|f2(x)+12,因此平方可积总是比绝对可积强

对于区间 [a,b] 上的平方可积函数 f(x),g(x),有:

(1) f(x)g(x) 绝对可积

(2) f(x)+g(x) 平方可积

(1)的证明:f(x)g(x)f2(x)+g2(x)2,因此(1)成立

(2)的证明:

0ab(t|f|+|g|)2dx=t2abf2dx+2tab|fg|dx+abg2dx

判别式 Δ0,因此

ab|fg|dx[abf2dx]12[abg2dx]12

利用这个不等式,还有:

(f+g)2dx=f2dx+2fgdx+g2dxf2dx+2f2dxg2dx+g2dx=[f2dx+g2dx]2

由此得到

Minkowski 不等式

{ab[f(x)+g(x)]2dx}12[abf2(x)dx]12+[abg2(x)dx]12

直接看出 f(x)+g(x) 平方可积

傅里叶级数最佳逼近

f(x)[π,π] 上可积或有瑕点时平方可积,设其部分和序列为 {Sn(x)},则任何 n 阶三角多项式 Tn(x),均方误差都大于等于 Sn(x) 的均方误差

帕塞瓦尔等式

f(x)[π,π] 上可积或有瑕点时平方可积,则有

a022+n=1+(an2+bn2)=1πππf2(x)dx

广义帕塞瓦尔等式:

a0α02+n=1+(anαn+bnβn)=1πππf(x)g(x)dx

傅里叶级数的一致收敛性

f(x)2π 为周期,在 [π,π] 可导,且 f(x)[π,π] 上可积,则傅里叶级数在 (,) 上收敛到 f(x)

posted @   xay5421  阅读(49)  评论(1编辑  收藏  举报
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