数学分析(II)

定积分

定义

略

可积性等价条件

设函数在区间 \([a,b]\) 上有界，则 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上可积等价于：

(1)对于 \(\forall \varepsilon>0\)，存在区间 \([a,b]\) 的分割 \(\Delta\)，使得

\[\sum_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i<\varepsilon \]

(2)对于 \(\forall \varepsilon>0,\forall \sigma>0\)，存在区间 \([a,b]\) 的一个分割 \(\Delta\)，使得 \(\omega_i\ge \varepsilon\) 的小区间 \(\Delta x_i\) 的长度总和小于 \(\sigma\)

定积分第一中值定理

设函数 \(f(x)\in C[a,b]\)，\(g(x)\in R[a,b]\) 且在区间 \([a,b]\) 不变号，则存在 \(\xi \in [a,b]\)，使得

\[\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=f(\xi)\int_{a}^bg(x)dx \]

定积分第二中值定理

设函数 \(f(x)\) 是区间 \([a,b]\) 上单调上升的函数且 \(f(x)\ge 0\)，\(g(x)\in R[a,b]\)，则存在 \(\xi\in [a,b]\)，使得

\[\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=f(b)\int_{\xi}^bg(x)\mathrm dx \]

其它形式：如果这里的\(f(x)\) 只有单调，那么存在 \(\xi\in [a,b]\)，使得

\[\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=f(a)\int_a^\xi g(x)\mathrm dx+f(b)\int_\xi^b g(x)\mathrm dx \]

带积分余项的泰勒公式

\[R_n(x)=\frac 1{n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n\mathrm dt=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]

定积分在几何学中的应用

略

广义积分

柯西准则（无穷积分）

设函数 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty]\) 有定义，对于 \(\forall X>a\)，\(f(x)\in [a,X]\)，则无穷积分 \(\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\) 收敛的充要条件是：对于 \(\forall \varepsilon>0,\exists M>a\)，当 \(X_2>X_1>M\) 时，有

\[|\int_{X_1}^{X_2}f(x)\mathrm dx|<\varepsilon \]

狄利克雷判别法（无穷积分）

设 \(f(x),g(x)\) 在 \([a,+\infty]\) 上有定义，且满足两个条件：

(1)对于 \(\forall X>a\)，\(g(x)\in R[a,X]\)，并且 \(\exists M>0\)，使得 \(\forall X>a\)，有

\[|\int_a^X g(x)\mathrm dx|\le M \]

(2) \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 单调，并且 \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\)，

则无穷积分 \(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛

阿贝尔判别法（无穷积分）

设 \(f(x),g(x)\) 在 \([a,+\infty]\) 上有定义，并且满足下面两个条件：

(1)对于 \(\forall X>a\)，\(g(x)\in R[a,X]\)，并且 \(\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm dx\) 收敛

(2) \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 单调有界

瑕积分

称 \(x_0\) 是 \(f(x)\) 的一个瑕点，如果 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个去心（左或右）邻域邻域内有定义，但在该去心（左或右）邻域内误解

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b]\) 上有定义， \(a\) 是 \(f(x)\) 的一个瑕点，若对于 \(\forall 0<\delta<b-a\)，\(f(x)\) 在区间 \([a+\delta,b]\) 上可积，且极限

\[\lim_{\delta\to 0+0}\int_{a+\delta}^b f(x)\mathrm dx \]

存在，则称瑕积分 \(\int_{a}^b f(x)\mathrm dx\) 收敛，并记

\[\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\delta\to 0+0}\int_{a+\delta}^b f(x)\mathrm dx \]

之后关于瑕积分的讨论，总是假定 \(b\) 是瑕点，并且在 \([a,b)\) 的任意子区间上可积

柯西准则（瑕积分）

瑕积分 \(\int_a^b f(x)\mathrm dx\) 收敛的充要条件是：对于 \(\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0\)，当 \(0<\delta_2<\delta_1<\delta\) 时，有

\[|\int_{b-\delta_1}^{b-\delta_2}f(x)\mathrm dx|<\varepsilon \]

狄利克雷判别法（瑕积分）

设 \(f(x),g(x)\) 在区间 \([a,b)\) 上满足下述条件：

(1) \(\exists M>0\)，使得对于 \(\forall \delta>0\)，有

\[|\int_a^{b-\delta}g(x)\mathrm dx|\le M \]

(2) \(f(x)\) 在 \([a,b)\) 上单调，且 \(\lim_{x\to b-}f(x)=0\)

则瑕积分 \(\int_{a}^b f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛

阿贝尔判别法（瑕积分）

(1) \(\int_a^b g(x)\mathrm dx\) 收敛

(2) \(f(x)\) 在 \([a,b)\) 上单调有界

则瑕积分 \(\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛

数项级数

柯西准则 （数项级数）

设 \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\) 是一个数项级数，则它收敛的充要条件是：对于 \(\forall \varepsilon>0,\exists N>0\)，当 \(n>m>N\) 时有

\[|\sum_{k=m+1}^n a_k|<\varepsilon \]

比较判别法（正项级数）

若存在 \(c>0\)，\(a_n\le cb_n\)，则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}b_n\) 收敛时，\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 也收敛

柯西判别法（正项级数）

记 \(\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\) 为一个正项级数，记

\[\overline{\lim_{n\to \infty}} \sqrt[n]{a_n}=r \]

(1)当 \(r<1\) 时，收敛

(2)当 \(r>1\) 时，发散

拉贝判别法（正项级数）

计算 \(n\to +\infty\) 时

\[n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) \]

的上下极限，若下极限大于 \(1\)，那么收敛，若上极限小于 \(1\)，则发散

柯西积分判别法（正项级数）

略

莱布尼茨交错级数判别法

设 \(\{a_n\}\) 单调趋于 \(0\)，则交错级数 \(\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}a_n\) 收敛

狄利克雷判别法（数项级数）

\(\{a_n\}\) 的部分和序列有界，\(\{b_n\}\) 单调趋于 \(0\)，则数项级数 \(\sum_{n=1}^{+\infty}a_nb_n\) 收敛

阿贝尔判别法（数项级数）

\(\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\) 收敛，序列 \(\{b_n\}\) 单调有界，则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}a_nb_n\) 收敛

函数序列与函数项级数

柯西准则（函数序列一致收敛）

\(\{f_n(x)\}\) 是定义在 \(I\subset \mathbb R\) 的函数序列，则在 \(I\) 上一致收敛充要条件是：对于 \(\forall\varepsilon>0\)，存在 \(N\in \mathbb N\)，当 \(n,m>N\) 时，对于一切 \(x\in I\)，有

\[|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon \]

最值判别法（函数序列一致收敛）

\(\{f_n(x)\}\)，\(I\)，则 \(f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in I)\) 的充要条件是

\[\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in I}\{|f_n(x)-f(x)|\}=0 \]

魏尔斯特拉斯 \(M\)​ 判别法（函数项级数）

若存在正数序列 \(M_n\)，满足 \(|u_n(x)|\le M_n,\forall x\in I\)，并且 \(\sum_{i=1}^{+\infty}M_n\) 收敛

则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)\) 绝对一致收敛

狄利克雷判别法（函数项级数）

设函数序列 \(\{u_n(x)\},\{v_n(x)\}\) 在 \(I\subset \mathbb R\) 上有定义，且：

(1) \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)\) 的部分和序列在 \(I\) 上一致有界

(2) \(\forall x\)，\(v_n(x)\) 是单调的，且 \(v_n(x)\rightrightarrows 0(x\in I)\)

则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛

阿贝尔判别法（函数项级数）

(1) \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛

(2) \(\forall x\)，\(v_n(x)\) 是单调的，且 \(\{v_n\}\) 在 \(I\) 上一致有界

则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛

狄尼定理

设 \(f_n(x)\in C[a,b]\)，\(f_n(x)\le f_{n+1}(x)\)，\(\lim_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)\)

则 \(f(x)\in C[a,b]\Leftrightarrow f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])\)

极限函数的连续性

设函数 \(f_n(x)\in C[a,b](n=1,2,\dots)\)，且 \(f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])\)，则 \(f(x)\in C[a,b]\)

更强的结论：设 ​\(\{f_n(x)\}\)​​ 是定义在 ​\([a,b]\backslash \{x_0\}\)​​ 上的函数序列，其中 \(x_0\in [a,b]\)，如果 \(f_n(x)\rightrightarrows f(x),(x\in [a,b]\backslash \{x_0\})\)，并且对每个 \(n\ge 1\)，有 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=c_n\)，则 \(\lim_{n\to \infty}c_n\) 存在，并且有 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{n\to +\infty}c_n\)

极限函数的积分

\(f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，且 \(f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，并且成立

\[\lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x)\mathrm dx=\int_a^b f(x)\mathrm dx=\int_a^b\lim_{n\to \infty}f_n(x)\mathrm dx \]

换成函数项级数的写法，\(u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 可积，且 \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 一致收敛，则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)\) 的和函数在 \([a,b]\) 可积，并且成立：

\[\int_a^b(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x))\mathrm dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_a^b u_n(x)\mathrm dx \]

极限函数的导数

设函数 \(f_n(x)\) 在区间 \([a,b]\) 可微，且满足：

(a)存在 \(x_0\in [a,b]\)，使得 \(\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)\) 存在

(b) \(f^\prime_n(x)\rightrightarrows g(x)(x\in [a,b])\)

则有结论：

(1)存在 \([a,b]\) 上的函数 \(f(x)\)，使得 \(f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])\)

(2) \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可微（端点单侧可微），并且 \(f^\prime(x)=g(x)\)，即

\[\lim_{n\to\infty}f^\prime_n(x)=[\lim_{n\to\infty}f_n(x)]^\prime \]

幂级数

收敛半径

对于幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)，记 \(\rho=\overline{\lim}_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\)，则收敛半径为 \(\frac 1\rho\)

对于幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)，记 \(\rho=lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\)，则收敛半径为 \(\frac 1\rho\)

引理

设幂级数 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) 在 \(x_0\neq 0\) 处收敛，则该级数在 \((-|x_0|,|x_0|)\) 内闭绝对一致收敛

证明：只需证明任意 \(0<\delta_0<1\)​，在 \([-\delta_0|x_0|,\delta_0|x_0|]\)​ 上一致收敛，由于 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx_0^n\)​ 收敛，因此 \(\lim_{n\to+\infty}a_nx_0^n=0\)​，因此存在 \(M>0\)​，对于所有 \(n\)​，\(|a_nx_0^n|\le M\)​，于是对于 \(\forall x\in[-\delta_0|x_0|,\delta_0|x_0|]\)​，有 \(|a_nx^n|\le M\delta_0^n\)​，而 \(M\delta_0^n\)​ 收敛，因此 \(\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|\)​ 在 \([-\delta_0|x_0|,\delta_0|x_0|]\)​ 上一致收敛

阿贝尔定理

设幂级数 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) 的收敛半径为 \(R>0\)，则

(1) \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) 在 \((-R,R)\) 内一致收敛

(2) 若 \(\sum_{n=0}^{+\infty}R^n\) 收敛，则 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) 在 \((-R,R]\) 的任何闭子区间一致收敛

(3) 若 \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^na_nR^n\) 收敛，则 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) 在 \([-R,R)\) 的任何闭子区间一致收敛

(1)的证明可以通过引理直接得到

(2)的只需证明在 \([0,R]\) 上一致收敛，令 \(u_n(x)=a_nR^n\)，\(v_n(x)=(\frac xR)^n\)，通过阿贝尔判别法即证

魏尔特斯拉斯定理

设函数 \(f(x)\in C[a,b]\)，则 \(f(x)\) 可被多项式逼近

傅里叶级数

狄利克雷积分

若周期函数 \(f(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\)，则可形式的得到其傅里叶级数：

\[f(x)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) \]

其中

\[a_n=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx \mathrm dx \]

\[b_n=\frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\mathrm dx \]

现在来考察 \(f(x)\) 的傅里叶级数部分和序列，对于 \(\forall x\in\mathbb N\)，有

\[\begin{aligned} S_n(x)&=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(u)\frac{\sin(n+\frac 12)(u-x)}{2\sin\frac{u-x}{2}}\mathrm du\\ &=\frac 1\pi\int_{0}^\pi(f(x+t)+f(x-t))\frac{\sin(n+\frac 12)t}{2\sin \frac{t}{2}}\mathrm dt \end{aligned} \]

若取 \(f(x)=1\)，则 \(S_n(x)\)，说明

\[1=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(n+\frac 12)t}{2\sin\frac t2}=2\int_0^\pi D_n(t)\mathrm dt \]

其中称

\[D_n(t)=\frac{\sin(n+\frac 12)t}{2\pi\sin \frac t2} \]

为狄利克雷和，称

\[\int_0^\pi \frac{f(x+t)+f(x-t)}2 D_n(t)\mathrm dt \]

为狄利克雷积分

现取定 \(x_0\in[\pi,\pi]\)，研究 \(f(x)\) 的狄利克雷部分和序列 \(\{S_n(x_0)\}\) 是否以 \(S_0\) 为极限

\[\begin{aligned} S_n(x_0)-S_0&=\int_{0}^\pi(f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S_0) D_n(t)\mathrm dt\\ &=\int_{0}^\pi G(t)\sin(n+\frac 12)t\mathrm dt \end{aligned} \]

其中

\[G(t)=\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S_0}{2\pi \sin\frac{t}{2}} \]

黎曼-勒贝格引理

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上可积或有有瑕点时绝对可积，则

\[\lim_{\lambda\to +\infty}\int_{a}^b f(x)\sin\lambda x\mathrm dx=\lim_{\lambda\to +\infty}\int_a^b f(x)\cos \lambda x\mathrm dx=0 \]

证明分两种情况：

(1) \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积

\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，说明有上界 \(M\)，\(|f(x)|\le M,\forall x\in [a,b]\)

对于 \(\forall \varepsilon>0\)，有分割满足

\[\sum_{i=1}^N(M_i-m_i)\Delta x_i<\frac \varepsilon 2 \]

因此有

\[\begin{aligned} |\int_a^b f(x)\sin \lambda x\mathrm dx|&=|\sum_{i=1}^N\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)\sin \lambda x \mathrm dx|\\ &\le |\sum_{i=1}^N\int_a^b (f(x)-m_i)\sin \lambda x\mathrm dx|+|\sum_{i=1}^N m_i\int_a^b \sin\lambda x\mathrm dx|\\ &\le \sum_{i=1}^N(M_i-m_i)\Delta x_i+\frac 2\lambda\sum_{i=1}^N|m_i|\\ &\le \frac{\varepsilon}2+\frac{2NM}{\lambda}\to 0 \end{aligned} \]

(2) \(f(x)\)​ 在 \([a,b]\)​ 上有瑕点

不妨假设只有一个瑕点，由于绝对可积，存在一个邻域，积分不超过 \(\frac \varepsilon 3\)，然后左右都用 (1) 的证明，使得积分不超过 \(\frac \varepsilon 3\)，总的就不超过 \(\varepsilon\)

黎曼局部化定理

因为 \(G\) 在 \(0\) 的邻域外没有瑕点或有瑕点也是绝对可积的，通过黎曼类贝格引理，可得

\[\int_\delta^\pi G(t)\sin(n+\frac 12)t\mathrm dt\to 0\ (n\to \infty) \]

而式子中的 \(2\sin \frac t2\) 又能被等价无穷小 \(t\) 替换，因为这两东西相减得到的函数在 \(0\) 处是 \(0\)，并且连续有界，通过黎曼类贝格可以得到差的极限是 \(0\)，因此极限相同，因此

\[\lim_{n\to \infty}\int_0^\delta f(t)\frac{\sin(n+\frac 12)t}{2\sin \frac t2}\mathrm dt=\lim_{n\to \infty}\int_0^\delta f(t)\frac{\sin(n+\frac 12)t}{t}\mathrm dt \]

注：两式具有相同敛散性，并且收敛时具有相同的极限

傅里叶级数的收敛判别法

在 \(x_0\) 处收敛到 \(S_0\) 的充要条件是：对充分小的正数 \(\delta\)，

\[\lim_{n\to\infty}\int_0^\delta\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S_0}{t} \sin(n+\frac 12)t=0 \]

令

\[\varphi(t)=f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S_0 \]

狄尼定理（傅里叶级数）

设 \(f(x)\) 是周期为 \(2\pi\) 的函数，在 \([-\pi,\pi]\) 可积或有瑕点时绝对可积，并且对于 \(x_0\in[-\pi,\pi]\)，存在 \(\delta>0\)，

\[\int_0^\delta \frac{|\varphi(t)|}{t}\mathrm dt<+\infty \]

那么在 \(x_0\) 处收敛到 \(S_0\)

证明：直接黎曼勒贝格

可推出下面的李普西茨定理

李普西茨定理（傅里叶级数）

\(f(x)\) Holder 连续，则收敛

狄利克雷定理（傅里叶级数）

存在 \(\delta_0>0\)，使得 \(f(x)\) 在 \((x_0-\delta_0,x_0)\) 和 \((x_0,x_0+\delta_0)\) 内分别单调，则收敛

总结（傅里叶级数收敛性）

若 \(f(x)\) 满足一下条件之一：

(1) 在 \([-\pi,\pi]\) 上分段可微

(2) 有界变差（分段单调）

(3) Holder 连续

则 \(f(x)\) 的傅里叶级数在 \(x_0\) 处收敛到 \(\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}\)

魏尔斯特拉斯第二逼近定理

设 \(f(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的连续函数，则存在

\[T_n(x)=\frac{\alpha_0}2+\sum_{k=1}^n(\alpha_k\cos kx+\beta_k\sin kx)\ (n=1,2,\dots) \]

使得 \(\forall \varepsilon>0\)，存在 \(N\in \mathbb N\)，当 \(n>N\) 时，对一切 \(x\in(-\infty,+\infty)\)，有 \(|T_n(x)-f(x)|<\varepsilon\)

结论：

记 \(S_n^*(x)=\frac{S_0(x)+S_1(x)+\dots+S_n(x)}{n+1}\)

有 \(S^*_n(x)\rightrightarrows f(x)\)

均方收敛

设 \(f(x),f_n(x)(n=1,2,\dots)\) 在 \([a,b]\) 平方可积，并且满足

\[\lim_{n\to \infty}\int_a^b[f_n(x)-f(x)]^2\mathrm dx=0 \]

称函数序列 \(\{f_n(x)\}\) 均方收敛于 \(f(x)\)

由于 \(|f(x)|\le \frac{f^2(x)+1}{2}\)，因此平方可积总是比绝对可积强

对于区间 \([a,b]\) 上的平方可积函数 \(f(x),g(x)\)，有：

(1) \(f(x)g(x)\) 绝对可积

(2) \(f(x)+g(x)\) 平方可积

(1)的证明：\(f(x)g(x)\le \frac{f^2(x)+g^2(x)}{2}\)，因此(1)成立

(2)的证明：

\[0\le \int_a^b(t|f|+|g|)^2\mathrm dx=t^2\int_a^b f^2\mathrm dx+2t\int_a^b|fg|\mathrm dx+\int_a^b g^2\mathrm dx \]

判别式 \(\Delta\le 0\)，因此

\[\int_a^b |fg|\mathrm dx\le \left[\int_a^b f^2\mathrm dx\right]^{\frac 12}\left[\int_a^b g^2\mathrm dx\right]^{\frac 12} \]

利用这个不等式，还有：

\[\begin{aligned} &\int (f+g)^2\mathrm dx\\ &=\int f^2\mathrm dx+2\int fg\mathrm dx+\int g^2\mathrm dx\\ &\le \int f^2\mathrm dx+2\sqrt{\int f^2\mathrm dx}\sqrt{\int g^2\mathrm dx}+\int g^2\mathrm dx\\ &=\left[\sqrt{\int f^2\mathrm dx}+\sqrt{\int g^2\mathrm dx}\right]^2 \end{aligned} \]

由此得到

Minkowski 不等式

\[\left\{\int_a^b\left[f(x)+g(x)\right]^2\mathrm dx\right\}^{\frac 12} \le \left[\int_a^b f^2(x)\mathrm dx\right]^{\frac 12}+\left[\int_a^b g^2(x)\mathrm dx\right]^{\frac 12} \]

直接看出 \(f(x)+g(x)\) 平方可积

傅里叶级数最佳逼近

设 \(f(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上可积或有瑕点时平方可积，设其部分和序列为 \(\{S_n(x)\}\)，则任何 \(n\) 阶三角多项式 \(T_n(x)\)，均方误差都大于等于 \(S_n(x)\) 的均方误差

帕塞瓦尔等式

设 \(f(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上可积或有瑕点时平方可积，则有

\[\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)=\frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)\mathrm dx \]

广义帕塞瓦尔等式：

\[\frac{a_0\alpha_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\alpha_n+b_n\beta_n)=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\mathrm dx \]

傅里叶级数的一致收敛性

\(f(x)\) 以 \(2\pi\) 为周期，在 \([-\pi,\pi]\) 可导，且 \(f'(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上可积，则傅里叶级数在 \((-\infty,\infty)\) 上收敛到 \(f(x)\)