定积分
定义
略
可积性等价条件
设函数在区间 [a,b] 上有界,则 f(x) 在区间 [a,b] 上可积等价于:
(1)对于 ∀ε>0,存在区间 [a,b] 的分割 Δ,使得
n∑i=1ωiΔxi<ε
(2)对于 ∀ε>0,∀σ>0,存在区间 [a,b] 的一个分割 Δ,使得 ωi≥ε 的小区间 Δxi 的长度总和小于 σ
定积分第一中值定理
设函数 f(x)∈C[a,b],g(x)∈R[a,b] 且在区间 [a,b] 不变号,则存在 ξ∈[a,b],使得
∫baf(x)g(x)dx=f(ξ)∫bag(x)dx
定积分第二中值定理
设函数 f(x) 是区间 [a,b] 上单调上升的函数且 f(x)≥0,g(x)∈R[a,b],则存在 ξ∈[a,b],使得
∫baf(x)g(x)dx=f(b)∫bξg(x)dx
其它形式:如果这里的f(x) 只有单调,那么存在 ξ∈[a,b],使得
∫baf(x)g(x)dx=f(a)∫ξag(x)dx+f(b)∫bξg(x)dx
带积分余项的泰勒公式
Rn(x)=1n!∫xx0f(n+1)(t)(x−t)ndt=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1
定积分在几何学中的应用
略
广义积分
柯西准则(无穷积分)
设函数 f(x) 在 [a,+∞] 有定义,对于 ∀X>a,f(x)∈[a,X],则无穷积分 ∫+∞af(x)dx 收敛的充要条件是:对于 ∀ε>0,∃M>a,当 X2>X1>M 时,有
|∫X2X1f(x)dx|<ε
狄利克雷判别法(无穷积分)
设 f(x),g(x) 在 [a,+∞] 上有定义,且满足两个条件:
(1)对于 ∀X>a,g(x)∈R[a,X],并且 ∃M>0,使得 ∀X>a,有
|∫Xag(x)dx|≤M
(2) f(x) 在 [a,+∞) 单调,并且 limx→+∞f(x)=0,
则无穷积分 ∫+∞af(x)g(x)dx 收敛
阿贝尔判别法(无穷积分)
设 f(x),g(x) 在 [a,+∞] 上有定义,并且满足下面两个条件:
(1)对于 ∀X>a,g(x)∈R[a,X],并且 ∫+∞ag(x)dx 收敛
(2) f(x) 在 [a,+∞) 单调有界
瑕积分
称 x0 是 f(x) 的一个瑕点,如果 f(x) 在 x0 的某个去心(左或右)邻域邻域内有定义,但在该去心(左或右)邻域内误解
设函数 f(x) 在区间 (a,b] 上有定义, a 是 f(x) 的一个瑕点,若对于 ∀0<δ<b−a,f(x) 在区间 [a+δ,b] 上可积,且极限
limδ→0+0∫ba+δf(x)dx
存在,则称瑕积分 ∫baf(x)dx 收敛,并记
∫baf(x)dx=limδ→0+0∫ba+δf(x)dx
之后关于瑕积分的讨论,总是假定 b 是瑕点,并且在 [a,b) 的任意子区间上可积
柯西准则(瑕积分)
瑕积分 ∫baf(x)dx 收敛的充要条件是:对于 ∀ε>0,∃δ>0,当 0<δ2<δ1<δ 时,有
|∫b−δ2b−δ1f(x)dx|<ε
狄利克雷判别法(瑕积分)
设 f(x),g(x) 在区间 [a,b) 上满足下述条件:
(1) ∃M>0,使得对于 ∀δ>0,有
|∫b−δag(x)dx|≤M
(2) f(x) 在 [a,b) 上单调,且 limx→b−f(x)=0
则瑕积分 ∫baf(x)g(x)dx 收敛
阿贝尔判别法(瑕积分)
(1) ∫bag(x)dx 收敛
(2) f(x) 在 [a,b) 上单调有界
则瑕积分 ∫baf(x)g(x)dx 收敛
数项级数
柯西准则 (数项级数)
设 ∑+∞n=1an 是一个数项级数,则它收敛的充要条件是:对于 ∀ε>0,∃N>0,当 n>m>N 时有
|n∑k=m+1ak|<ε
比较判别法(正项级数)
若存在 c>0,an≤cbn,则 ∑+∞n=1bn 收敛时,∑∞n=1an 也收敛
柯西判别法(正项级数)
记 ∑+∞n=1an 为一个正项级数,记
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯limn→∞n√an=r
(1)当 r<1 时,收敛
(2)当 r>1 时,发散
拉贝判别法(正项级数)
计算 n→+∞ 时
n(anan+1−1)
的上下极限,若下极限大于 1,那么收敛,若上极限小于 1,则发散
柯西积分判别法(正项级数)
略
莱布尼茨交错级数判别法
设 {an} 单调趋于 0,则交错级数 ∑+∞n=1(−1)n−1an 收敛
狄利克雷判别法(数项级数)
{an} 的部分和序列有界,{bn} 单调趋于 0,则数项级数 ∑+∞n=1anbn 收敛
阿贝尔判别法(数项级数)
∑+∞n=1an 收敛,序列 {bn} 单调有界,则 ∑+∞n=1anbn 收敛
函数序列与函数项级数
柯西准则(函数序列一致收敛)
{fn(x)} 是定义在 I⊂R 的函数序列,则在 I 上一致收敛充要条件是:对于 ∀ε>0,存在 N∈N,当 n,m>N 时,对于一切 x∈I,有
|fn(x)−fm(x)|<ε
最值判别法(函数序列一致收敛)
{fn(x)},I,则 fn(x)⇉f(x)(x∈I) 的充要条件是
limn→∞supx∈I{|fn(x)−f(x)|}=0
魏尔斯特拉斯 M 判别法(函数项级数)
若存在正数序列 Mn,满足 |un(x)|≤Mn,∀x∈I,并且 ∑+∞i=1Mn 收敛
则 ∑+∞n=1un(x) 绝对一致收敛
狄利克雷判别法(函数项级数)
设函数序列 {un(x)},{vn(x)} 在 I⊂R 上有定义,且:
(1) ∑+∞n=1un(x) 的部分和序列在 I 上一致有界
(2) ∀x,vn(x) 是单调的,且 vn(x)⇉0(x∈I)
则 ∑+∞n=1un(x)vn(x) 在 I 上一致收敛
阿贝尔判别法(函数项级数)
(1) ∑+∞n=1un(x) 在 I 上一致收敛
(2) ∀x,vn(x) 是单调的,且 {vn} 在 I 上一致有界
则 ∑+∞n=1un(x)vn(x) 在 I 上一致收敛
狄尼定理
设 fn(x)∈C[a,b],fn(x)≤fn+1(x),limn→∞fn(x)=f(x)
则 f(x)∈C[a,b]⇔fn(x)⇉f(x)(x∈[a,b])
极限函数的连续性
设函数 fn(x)∈C[a,b](n=1,2,…),且 fn(x)⇉f(x)(x∈[a,b]),则 f(x)∈C[a,b]
更强的结论:设 {fn(x)} 是定义在 [a,b]∖{x0} 上的函数序列,其中 x0∈[a,b],如果 fn(x)⇉f(x),(x∈[a,b]∖{x0}),并且对每个 n≥1,有 limx→x0f(x)=cn,则 limn→∞cn 存在,并且有 limx→x0f(x)=limn→+∞cn
极限函数的积分
fn(x) 在 [a,b] 上可积,且 fn(x)⇉f(x)(x∈[a,b]),则 f(x) 在 [a,b] 上可积,并且成立
limn→∞∫bafn(x)dx=∫baf(x)dx=∫balimn→∞fn(x)dx
换成函数项级数的写法,un(x) 在 [a,b] 可积,且 ∑+∞n=1un(x) 在 [a,b] 一致收敛,则 ∑+∞n=1un(x) 的和函数在 [a,b] 可积,并且成立:
∫ba(+∞∑n=1un(x))dx=+∞∑n=1∫baun(x)dx
极限函数的导数
设函数 fn(x) 在区间 [a,b] 可微,且满足:
(a)存在 x0∈[a,b],使得 limn→∞fn(x0) 存在
(b) f′n(x)⇉g(x)(x∈[a,b])
则有结论:
(1)存在 [a,b] 上的函数 f(x),使得 fn(x)⇉f(x)(x∈[a,b])
(2) f(x) 在 [a,b] 上可微(端点单侧可微),并且 f′(x)=g(x),即
limn→∞f′n(x)=[limn→∞fn(x)]′
幂级数
收敛半径
对于幂级数 ∑∞n=0anxn,记 ρ=¯¯¯¯¯¯¯¯limn→∞n√|an|,则收敛半径为 1ρ
对于幂级数 ∑∞n=0anxn,记 ρ=limn→∞|an+1an|,则收敛半径为 1ρ
引理
设幂级数 ∑+∞n=0anxn 在 x0≠0 处收敛,则该级数在 (−|x0|,|x0|) 内闭绝对一致收敛
证明:只需证明任意 0<δ0<1,在 [−δ0|x0|,δ0|x0|] 上一致收敛,由于 ∑+∞n=0anxn0 收敛,因此 limn→+∞anxn0=0,因此存在 M>0,对于所有 n,|anxn0|≤M,于是对于 ∀x∈[−δ0|x0|,δ0|x0|],有 |anxn|≤Mδn0,而 Mδn0 收敛,因此 ∑∞n=0|anxn| 在 [−δ0|x0|,δ0|x0|] 上一致收敛
阿贝尔定理
设幂级数 ∑+∞n=0anxn 的收敛半径为 R>0,则
(1) ∑+∞n=0anxn 在 (−R,R) 内一致收敛
(2) 若 ∑+∞n=0Rn 收敛,则 ∑+∞n=0anxn 在 (−R,R] 的任何闭子区间一致收敛
(3) 若 ∑+∞n=0(−1)nanRn 收敛,则 ∑+∞n=0anxn 在 [−R,R) 的任何闭子区间一致收敛
(1)的证明可以通过引理直接得到
(2)的只需证明在 [0,R] 上一致收敛,令 un(x)=anRn,vn(x)=(xR)n,通过阿贝尔判别法即证
魏尔特斯拉斯定理
设函数 f(x)∈C[a,b],则 f(x) 可被多项式逼近
傅里叶级数
狄利克雷积分
若周期函数 f(x) 在 [−π,π],则可形式的得到其傅里叶级数:
f(x)∼a02++∞∑n=1(ancosnx+bnsinnx)
其中
an=1π∫π−πf(x)cosnxdx
bn=1π∫π−πf(x)sinnxdx
现在来考察 f(x) 的傅里叶级数部分和序列,对于 ∀x∈N,有
Sn(x)=1π∫π−πf(u)sin(n+12)(u−x)2sinu−x2du=1π∫π0(f(x+t)+f(x−t))sin(n+12)t2sint2dt
若取 f(x)=1,则 Sn(x),说明
1=2π∫π0sin(n+12)t2sint2=2∫π0Dn(t)dt
其中称
Dn(t)=sin(n+12)t2πsint2
为狄利克雷和,称
∫π0f(x+t)+f(x−t)2Dn(t)dt
为狄利克雷积分
现取定 x0∈[π,π],研究 f(x) 的狄利克雷部分和序列 {Sn(x0)} 是否以 S0 为极限
Sn(x0)−S0=∫π0(f(x0+t)+f(x0−t)−2S0)Dn(t)dt=∫π0G(t)sin(n+12)tdt
其中
G(t)=f(x0+t)+f(x0−t)−2S02πsint2
黎曼-勒贝格引理
设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上可积或有有瑕点时绝对可积,则
limλ→+∞∫baf(x)sinλxdx=limλ→+∞∫baf(x)cosλxdx=0
证明分两种情况:
(1) f(x) 在 [a,b] 上可积
f(x) 在 [a,b] 上可积,说明有上界 M,|f(x)|≤M,∀x∈[a,b]
对于 ∀ε>0,有分割满足
N∑i=1(Mi−mi)Δxi<ε2
因此有
|∫baf(x)sinλxdx|=|N∑i=1∫xixi−1f(x)sinλxdx|≤|N∑i=1∫ba(f(x)−mi)sinλxdx|+|N∑i=1mi∫basinλxdx|≤N∑i=1(Mi−mi)Δxi+2λN∑i=1|mi|≤ε2+2NMλ→0
(2) f(x) 在 [a,b] 上有瑕点
不妨假设只有一个瑕点,由于绝对可积,存在一个邻域,积分不超过 ε3,然后左右都用 (1) 的证明,使得积分不超过 ε3,总的就不超过 ε
黎曼局部化定理
因为 G 在 0 的邻域外没有瑕点或有瑕点也是绝对可积的,通过黎曼类贝格引理,可得
∫πδG(t)sin(n+12)tdt→0 (n→∞)
而式子中的 2sint2 又能被等价无穷小 t 替换,因为这两东西相减得到的函数在 0 处是 0,并且连续有界,通过黎曼类贝格可以得到差的极限是 0,因此极限相同,因此
limn→∞∫δ0f(t)sin(n+12)t2sint2dt=limn→∞∫δ0f(t)sin(n+12)ttdt
注:两式具有相同敛散性,并且收敛时具有相同的极限
傅里叶级数的收敛判别法
在 x0 处收敛到 S0 的充要条件是:对充分小的正数 δ,
limn→∞∫δ0f(x0+t)+f(x0−t)−2S0tsin(n+12)t=0
令
φ(t)=f(x0+t)+f(x0−t)−2S0
狄尼定理(傅里叶级数)
设 f(x) 是周期为 2π 的函数,在 [−π,π] 可积或有瑕点时绝对可积,并且对于 x0∈[−π,π],存在 δ>0,
∫δ0|φ(t)|tdt<+∞
那么在 x0 处收敛到 S0
证明:直接黎曼勒贝格
可推出下面的李普西茨定理
李普西茨定理(傅里叶级数)
f(x) Holder 连续,则收敛
狄利克雷定理(傅里叶级数)
存在 δ0>0,使得 f(x) 在 (x0−δ0,x0) 和 (x0,x0+δ0) 内分别单调,则收敛
总结(傅里叶级数收敛性)
若 f(x) 满足一下条件之一:
(1) 在 [−π,π] 上分段可微
(2) 有界变差(分段单调)
(3) Holder 连续
则 f(x) 的傅里叶级数在 x0 处收敛到 f(x0−0)+f(x0+0)2
魏尔斯特拉斯第二逼近定理
设 f(x) 是以 2π 为周期的连续函数,则存在
Tn(x)=α02+n∑k=1(αkcoskx+βksinkx) (n=1,2,…)
使得 ∀ε>0,存在 N∈N,当 n>N 时,对一切 x∈(−∞,+∞),有 |Tn(x)−f(x)|<ε
结论:
记 S∗n(x)=S0(x)+S1(x)+⋯+Sn(x)n+1
有 S∗n(x)⇉f(x)
均方收敛
设 f(x),fn(x)(n=1,2,…) 在 [a,b] 平方可积,并且满足
limn→∞∫ba[fn(x)−f(x)]2dx=0
称函数序列 {fn(x)} 均方收敛于 f(x)
由于 |f(x)|≤f2(x)+12,因此平方可积总是比绝对可积强
对于区间 [a,b] 上的平方可积函数 f(x),g(x),有:
(1) f(x)g(x) 绝对可积
(2) f(x)+g(x) 平方可积
(1)的证明:f(x)g(x)≤f2(x)+g2(x)2,因此(1)成立
(2)的证明:
0≤∫ba(t|f|+|g|)2dx=t2∫baf2dx+2t∫ba|fg|dx+∫bag2dx
判别式 Δ≤0,因此
∫ba|fg|dx≤[∫baf2dx]12[∫bag2dx]12
利用这个不等式,还有:
∫(f+g)2dx=∫f2dx+2∫fgdx+∫g2dx≤∫f2dx+2√∫f2dx√∫g2dx+∫g2dx=[√∫f2dx+√∫g2dx]2
由此得到
Minkowski 不等式
{∫ba[f(x)+g(x)]2dx}12≤[∫baf2(x)dx]12+[∫bag2(x)dx]12
直接看出 f(x)+g(x) 平方可积
傅里叶级数最佳逼近
设 f(x) 在 [−π,π] 上可积或有瑕点时平方可积,设其部分和序列为 {Sn(x)},则任何 n 阶三角多项式 Tn(x),均方误差都大于等于 Sn(x) 的均方误差
帕塞瓦尔等式
设 f(x) 在 [−π,π] 上可积或有瑕点时平方可积,则有
a202++∞∑n=1(a2n+b2n)=1π∫π−πf2(x)dx
广义帕塞瓦尔等式:
a0α02++∞∑n=1(anαn+bnβn)=1π∫π−πf(x)g(x)dx
傅里叶级数的一致收敛性
f(x) 以 2π 为周期,在 [−π,π] 可导,且 f′(x) 在 [−π,π] 上可积,则傅里叶级数在 (−∞,∞) 上收敛到 f(x)
【推荐】国内首个AI IDE,深度理解中文开发场景,立即下载体验Trae
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· Manus重磅发布:全球首款通用AI代理技术深度解析与实战指南
· 被坑几百块钱后,我竟然真的恢复了删除的微信聊天记录!
· 没有Manus邀请码?试试免邀请码的MGX或者开源的OpenManus吧
· 园子的第一款AI主题卫衣上架——"HELLO! HOW CAN I ASSIST YOU TODAY
· 【自荐】一款简洁、开源的在线白板工具 Drawnix