高等代数(II)

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  • 定理
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  • 引理证明
  • 定理证明
• 判别式
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Witt 定理

定理

$(V,f)$ 为非退化正交空间，设 $V=V_1\perp V_1^\perp=W_1\perp W_1^\perp$，$V$ 和 $W$ 之间存在等距同构，$V_1$ 和 $W_1$ 之间存在等距同构，则 $V_2$ 和 $W_2$ 之间存在等距同构。

引理

$(V,f)$ 是正交空间，若存在 $\alpha,\beta\in V$ 满足 $f(\alpha,\alpha)=f(\beta,\beta)\neq 0$，则存在等距同构 $\varphi:V\to V$，使得 $\varphi(\alpha)=\beta$。

引理证明

若 $\alpha=\beta$，则 $\varphi=I$ 即可。

否则，取标准正交基 $\eta_1=k(\alpha-\beta),\eta_2,\dots,\eta_n$，其中 $k=\frac 1{|\alpha-\beta|}$。

在这组基下 $\alpha-\beta=\frac{\eta_1}{k}$，因此 $\alpha$ 和 $\beta$ 在这组基下坐标除了第一维都相同，而 $f(\alpha,\alpha)=f(\beta,\beta)$，因此第一维符号相反，因此存在镜面反射 $\varphi(\alpha)=\beta$。

定理证明

对 $\dim V_1$ 归纳。

如果 $\dim V_1=0$，直接可得 $V_1^\perp$ 和 $W_1^\perp$ 等距同构。

由条件 $V_1$ 和 $W_1$ 之间存在等距同构，又因为 $V$ 非退化，因此可以找到 $\alpha$ 和 $\beta$ 满足 $f(\alpha,\alpha)=f(\beta,\beta)\neq 0$，根据引理，存在等距同构满足 $\varphi(\alpha)=\beta$。

如果 $\dim V_1=1$，设 $V_1=<\alpha_0>,W_1=<\beta_0>$，$\varphi|_{V_1^\perp}$ 是 $V_1^\perp$ 和 $W_1^\perp$ 之间的等距同构。

如果 $\dim V_1>1$，可以将 $V$ 表示成 $<\alpha>\perp <\alpha>^\perp\perp V_1^\perp$，也可以表示成 $<\beta>\perp <\beta>^\perp \perp W_1^\perp$，其中 $<\alpha>^\perp$ 和 $<\beta>^\perp$ 之间存在等距同构 $\varphi|_{<\alpha>^\perp}$，$<\alpha>^\perp\perp V_1^\perp$ 和 $<\beta>^\perp \perp W_1^\perp$ 之间存在等距同构，因此规约到 $\dim_{V_1}-1$ 的问题。

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判别式

引入

对于一元二次方程 $ax^2+bx+c$ 有判别式 $\Delta=b^2-4ac$

如果：

• $\Delta=0$ 有重根
• $\Delta>0$ 有两个不同实根
• $\Delta<0$ 有两个不同复根

对于 $f(x)=a_nx^n+\dots+a_0$，不妨设 $a_n=1$，希望构造 $\Delta(a_n,\dots,a_0)$ 满足：$\Delta=0\Leftrightarrow$ 重根。

内容

设 $f(x)$ 的复根为 $x_1,x_2,\dots,x_n$，有

$$f(x)=\prod_{i=1}^n (x-x_i)=\sum_{i=0}^n(-1)^k\sigma_kx^{n-k}$$

其中

$$\sigma_k=\sum_{1\le i_1<i_2<\dots<i_k\le n}x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_k}$$

令

$$\Delta=\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2$$

而我们希望通过 $a_n,\dots,a_1$ 表示出 $\Delta$。

而 $a_k=(-1)^{n-k}\sigma_{n-k}$，即我们要找一个通过 $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ 表示出 $\Delta$ 的方法。

注意到 $\Delta(x_1,\dots,x_n)$ 是对称 $n$ 元多项式，可以表示为 $g(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$。

$\Delta$ 的形式让人联想到范德蒙德行列式，令

$$B=\begin{pmatrix}1 & 1 & \dots & 1\\ c_1 & c_2 & \dots & c_n\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\c_1^{n-1} & c_2^{n-1} & \dots & c_n^{n-1}\end{pmatrix}$$

$$\Delta=|B|^2=|BB^T|=\begin{vmatrix} s_0 & s_1 & \dots & s_{n-1}\\ s_1 & s_2 & \dots & s_{n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_{n-1} & s_n & \dots & s_{2n-2} \end{vmatrix}$$

其中

$$s_k=\sum_{i=1}^n x_i^k$$

而怎么算 $s_k$ 呢，有牛顿公式

当 $1\le k\le n$ 时，有 $s_k-\sigma_1s_{k-1}+\sigma_2s_{k-2}+\dots+(-1)^{k-1}\sigma_{k-1}s_1+(-1)^kk\sigma_k=0$

当 $k>n$ 时，有 $s_k-\sigma_1s_{k-1}+\sigma_2s_{k-2}+\dots+(-1)^{n-1}\sigma_{n-1}s_{k-n+1}=0$