高等代数(II)

Witt 定理

定理

\((V,f)\) 为非退化正交空间，设 \(V=V_1\perp V_1^\perp=W_1\perp W_1^\perp\)，\(V\) 和 \(W\) 之间存在等距同构，\(V_1\) 和 \(W_1\) 之间存在等距同构，则 \(V_2\) 和 \(W_2\) 之间存在等距同构。

引理

\((V,f)\) 是正交空间，若存在 \(\alpha,\beta\in V\) 满足 \(f(\alpha,\alpha)=f(\beta,\beta)\neq 0\)，则存在等距同构 \(\varphi:V\to V\)，使得 \(\varphi(\alpha)=\beta\)。

引理证明

若 \(\alpha=\beta\)，则 \(\varphi=I\) 即可。

否则，取标准正交基 \(\eta_1=k(\alpha-\beta),\eta_2,\dots,\eta_n\)，其中 \(k=\frac 1{|\alpha-\beta|}\)。

在这组基下 \(\alpha-\beta=\frac{\eta_1}{k}\)，因此 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 在这组基下坐标除了第一维都相同，而 \(f(\alpha,\alpha)=f(\beta,\beta)\)，因此第一维符号相反，因此存在镜面反射 \(\varphi(\alpha)=\beta\)。

定理证明

对 \(\dim V_1\) 归纳。

如果 \(\dim V_1=0\)，直接可得 \(V_1^\perp\) 和 \(W_1^\perp\) 等距同构。

由条件 \(V_1\) 和 \(W_1\) 之间存在等距同构，又因为 \(V\) 非退化，因此可以找到 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 满足 \(f(\alpha,\alpha)=f(\beta,\beta)\neq 0\)，根据引理，存在等距同构满足 \(\varphi(\alpha)=\beta\)。

如果 \(\dim V_1=1\)，设 \(V_1=<\alpha_0>,W_1=<\beta_0>\)，\(\varphi|_{V_1^\perp}\) 是 \(V_1^\perp\) 和 \(W_1^\perp\) 之间的等距同构。

如果 \(\dim V_1>1\)，可以将 \(V\) 表示成 \(<\alpha>\perp <\alpha>^\perp\perp V_1^\perp\)，也可以表示成 \(<\beta>\perp <\beta>^\perp \perp W_1^\perp\)，其中 \(<\alpha>^\perp\) 和 \(<\beta>^\perp\) 之间存在等距同构 \(\varphi|_{<\alpha>^\perp}\)，\(<\alpha>^\perp\perp V_1^\perp\) 和 \(<\beta>^\perp \perp W_1^\perp\) 之间存在等距同构，因此规约到 \(\dim_{V_1}-1\) 的问题。

判别式

引入

对于一元二次方程 \(ax^2+bx+c\) 有判别式 \(\Delta=b^2-4ac\)

如果：

• \(\Delta=0\) 有重根
• \(\Delta>0\) 有两个不同实根
• \(\Delta<0\) 有两个不同复根

对于 \(f(x)=a_nx^n+\dots+a_0\)，不妨设 \(a_n=1\)，希望构造 \(\Delta(a_n,\dots,a_0)\) 满足：\(\Delta=0\Leftrightarrow\) 重根。

内容

设 \(f(x)\) 的复根为 \(x_1,x_2,\dots,x_n\)，有

\[f(x)=\prod_{i=1}^n (x-x_i)=\sum_{i=0}^n(-1)^k\sigma_kx^{n-k} \]

其中

\[\sigma_k=\sum_{1\le i_1<i_2<\dots<i_k\le n}x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_k} \]

令

\[\Delta=\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2 \]

而我们希望通过 \(a_n,\dots,a_1\) 表示出 \(\Delta\)。

而 \(a_k=(-1)^{n-k}\sigma_{n-k}\)，即我们要找一个通过 \(\sigma_1,\dots,\sigma_n\) 表示出 \(\Delta\) 的方法。

注意到 \(\Delta(x_1,\dots,x_n)\) 是对称 \(n\) 元多项式，可以表示为 \(g(\sigma_1,\dots,\sigma_n)\)。

\(\Delta\) 的形式让人联想到范德蒙德行列式，令

\[B=\begin{pmatrix}1 & 1 & \dots & 1\\ c_1 & c_2 & \dots & c_n\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\c_1^{n-1} & c_2^{n-1} & \dots & c_n^{n-1}\end{pmatrix} \]

\[\Delta=|B|^2=|BB^T|=\begin{vmatrix} s_0 & s_1 & \dots & s_{n-1}\\ s_1 & s_2 & \dots & s_{n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_{n-1} & s_n & \dots & s_{2n-2} \end{vmatrix} \]

其中

\[s_k=\sum_{i=1}^n x_i^k \]

而怎么算 \(s_k\) 呢，有牛顿公式

当 \(1\le k\le n\) 时，有 \(s_k-\sigma_1s_{k-1}+\sigma_2s_{k-2}+\dots+(-1)^{k-1}\sigma_{k-1}s_1+(-1)^kk\sigma_k=0\)

当 \(k>n\) 时，有 \(s_k-\sigma_1s_{k-1}+\sigma_2s_{k-2}+\dots+(-1)^{n-1}\sigma_{n-1}s_{k-n+1}=0\)