USACO 2023 February Contest, Platinum 题解

Hungry Cow

题意：有一些 $(d_i,b_i)$ 表示在 $d_i$ 天有 $b_i$ 的食物，如果这一天有食物，奶牛会吃一单位食物，否则不吃，动态修改，问吃到食物的天的编号之和。$N\le 10^5$

题解：用线段树维护区间的信息，维护差多少可以让这个区间吃满，这个区间会传给后面多少以及区间编号和。查询一个有 $k$ 个单位食物经过一个区间可以线段树二分实现，在线段树 update 的时候到右子树查询左子树多出来的部分（即楼房重建线段树），这样就维护出了答案。

Problem Setting

题意：有 $N(N\le 10^5)$ 道题，$M(M\le 20)$ 头奶牛，每头奶牛有个评价，简单的或者困难的，你要求多少个题目序列，满足任意一头奶牛都有这个题目序列满足简单的在困难的之前。

题解：考虑将每个题看成一个长度为 $M$ 的二进制数，我们相当于找 $S1\subset S2\subset S3 \subset \dots\subset S_k$。然后这个暴力 $O(3^M)$ dp 就行了，因为 $N$ 特别小，有值的位置只有 $10^5$ 个。

Watching Cowflix

题意：给定一棵树，有一些关键点，找一些不相交的连通块，包含所有关键点，这个的权值为 $\sum_{i=1}^C (|c_i|+K)$。让你对每个 $K$ 求权值最小值。

题解：考虑给定 $K$，可以有一个线性的 dp：$f_u$ 表示 $u$ 这个点在连通块里，$g_u$ 表示 $u$ 这个点不再连通块里的最小值。我们考虑所有 $K$，画成函数的形式，$F(K)$ 表示 $K$ 的答案，我们发现 $F(K)$ 可以表示成根号个分段函数（斜率小于根号最多根号段，斜率大于根号个数不超过根号）。分治求 $F(K)$，如果遇到 $F(l)$ 和 $F(r)$ 相等，那么 $F(l\dots r)$ 都相等。复杂度 $O(n\sqrt n\log n)$。