USACO 2023 February Contest, Platinum 题解

Hungry Cow

题意：有一些 \((d_i,b_i)\) 表示在 \(d_i\) 天有 \(b_i\) 的食物，如果这一天有食物，奶牛会吃一单位食物，否则不吃，动态修改，问吃到食物的天的编号之和。\(N\le 10^5\)

题解：用线段树维护区间的信息，维护差多少可以让这个区间吃满，这个区间会传给后面多少以及区间编号和。查询一个有 \(k\) 个单位食物经过一个区间可以线段树二分实现，在线段树 update 的时候到右子树查询左子树多出来的部分（即楼房重建线段树），这样就维护出了答案。

Problem Setting

题意：有 \(N(N\le 10^5)\) 道题，\(M(M\le 20)\) 头奶牛，每头奶牛有个评价，简单的或者困难的，你要求多少个题目序列，满足任意一头奶牛都有这个题目序列满足简单的在困难的之前。

题解：考虑将每个题看成一个长度为 \(M\) 的二进制数，我们相当于找 \(S1\subset S2\subset S3 \subset \dots\subset S_k\)。然后这个暴力 \(O(3^M)\) dp 就行了，因为 \(N\) 特别小，有值的位置只有 \(10^5\) 个。

Watching Cowflix

题意：给定一棵树，有一些关键点，找一些不相交的连通块，包含所有关键点，这个的权值为 \(\sum_{i=1}^C (|c_i|+K)\)。让你对每个 \(K\) 求权值最小值。

题解：考虑给定 \(K\)，可以有一个线性的 dp：\(f_u\) 表示 \(u\) 这个点在连通块里，\(g_u\) 表示 \(u\) 这个点不再连通块里的最小值。我们考虑所有 \(K\)，画成函数的形式，\(F(K)\) 表示 \(K\) 的答案，我们发现 \(F(K)\) 可以表示成根号个分段函数（斜率小于根号最多根号段，斜率大于根号个数不超过根号）。分治求 \(F(K)\)，如果遇到 \(F(l)\) 和 \(F(r)\) 相等，那么 \(F(l\dots r)\) 都相等。复杂度 \(O(n\sqrt n\log n)\)。