积性函数的一些性质

对于积性函数，设f(n)可乘，则

\[F(n)=\sum _{d|n}f(d)=\prod _{p^\alpha ||n}(1+f(p)+...+f(p^\alpha )) \]

证明有点懒得打

那么$$\sigma (n)=\sum _{d|n}d=\prod _{p^\alpha || n}(1+p+...+p^{\alpha)=\frac{p_1} - 1}{p_1 - 1} ... \frac{p_n^{\alpha_n + 1} - 1}{p_n - 1}$$