LightOJ - 1098 A New Function

题意：定义SOD(n)=n除去1和自身的所有因数的和，CSOD(n)为ΣSOD(i),1<=i<=n。T (≤ 1000)组数据，求CSOD(n),(0 ≤ n ≤ 2 * 10⁹)

 

对于不同的数m，m=a*b,a<=b；枚举a，判断不大于n的中有哪些可以写成m=a*b的，把a和b加到答案上。复杂度是O(√n)

如何维护答案呢？

举例子，作为a出现的3有多少次呢？是n／3 * 3吗？并不是。要注意到我们要求a<=b，那么从m=9开始，3才会作为a出现，而3，6中的因数3并不作为a对答案贡献。所以ans += (n / i - i + 1) * i;

a为一个数时，对应的b成等差数列，最大值是n / i,最小值是a+1，(注意m=a*a时，a只能算一次贡献， 所以这里不是a）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL;

int T;
LL N;

int main() {
    scanf("%d", &T);
    for (int t = 1; t <= T; t++) {
        LL ans = 0;
        scanf("%lld", &N);
        LL tmp = sqrt(N);
        for (LL i = 2; i <= tmp; i++) {
            ans += (N / i - i + 1) * i;
            LL down = i + 1, up = N / i;
            //if (down > up) continue; 因为down > up的情况只会出现于n可表示为n=x *x 的情况，此时down = up + 1。下方右式恰好为0
            ans += (up + down) * (up - down + 1) / 2;
        }
        printf("Case %d: %lld\n", t, ans);
    }    
    return 0;
}