UVA - 1347

传送门

 

有n个点，要求从寻找一条从点1到点n，再从n到1的路径，要求这路径经过每个点且没有重复的点，并使得路径总长度最小。输入的是点的坐标<x,y>,保证x值严格递增。点的距离是欧几里得距离。

 

将问题转化为求解两条互不重叠的从1到n的路径。此时显然从每次走向横坐标更大的值是一个更优的解。我们定义dp[i][j]为当前路径的末尾分别为i，j。显然dp[i][j]==dp[j][i]，则我们只用dp[i][j]表示，并严格定义i>j。那么状态转移是dp[i][j] -> dp[i + 1][j](路径i上移动）或 dp[i + 1][i]（路径j上移动）。当然dp[i][j]也可以转移到dp[i + 2][i],不过这可以由dp[i][j] ->dp[i + 1][i]->dp[i + 2][i]。所以这个状态转移方程是包含了所有的情况的。

边界条件是已经走了前N-1个点之后，dp[N - 1][j] = distance(N - 1, N) + distance(j, N - 1)，最后结果是dp[2][1] + distance(1, 2)

复杂度是O(n²)

 

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn = 1e3 + 10;

int N;
struct node {
    int x, y;
}cor[maxn];

double dp[maxn][maxn];

double dis(int i, int j) {
    return sqrt((double)((cor[i].x - cor[j].x) * (cor[i].x - cor[j].x)
                        + (cor[i].y - cor[j].y) * (cor[i].y - cor[j].y)));
}

void solve() {
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[2][1] = dis(1, 2);
    for (int i = N - 1; i >= 2; i--) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (i == N - 1) {
                dp[N - 1][j] = dis(N - 1, N) + dis(j, N);
            } else {
                dp[i][j] = min(dp[i + 1][j] + dis(i, i + 1),
                               dp[i + 1][i] + dis(j, i + 1));
            }
        }
    }
    printf("%.2lf\n", dp[2][1] + dis(1, 2));
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    while (~scanf("%d", &N)) {
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            scanf("%d%d", &cor[i].x, &cor[i].y);
        }
        solve();
    }
    return 0;
}