#define int Modint<11>
本文为第二届你要魔怔杯鲜花大赛！！！投稿作品。
License: CC BY-NC-SA 4.0
前言
这是一个 \(\bmod \ 11\) 的世界。
假设这个世界与地球类似（不妨称它为 E 球），但是所有的数都是 \(\bmod \ 11\) 意义下的。
在正文和注解部分书写一个十进制数时我会用 0d 作为前缀。下文用 \(A\) 代替 \(10\)。
人名都是随机找的。如果不满意可以联系我换。
正文
数学的起源要追溯到 E 球的原始时代。人类有 \(A\) 根手指，在那时足以用来满足绝大部分的计数需求了。如果想要再往后数，就要将伸出的 \(A\) 根手指全部收回，作为下一个数 \(0\)，再然后又是 \(1,2,\cdots\).
随着人类的发展，一套相应的哲学观念开始诞生。人们从四季的运转中认识到这一规律，认为数字也是循环的。加、减、乘运算也在这一时期成形。但如果人们想表示一个数均分成几份，他们就只好写成分数的形式，例如 \(\dfrac{4}{8}\)。
分数的化简要归功于 Uqerainy 的发现：对于除了 \(0\) 之外的所有数 \(x\)，总有唯一的数 \(y\) 满足 \(xy=1\)。因此 \(\dfrac{a}{x} = ay\).
现在，十十乘法表已广为人知（它有 \(A \times A=1\) 项），这使人们可以迅速地计算两个数的乘积。
……
但是，有些数无法被 \(0 \sim A\) 中的数码表示，例如 \(\sqrt 2\)。无理数最早被 MLEDD 所发现，他将 \(x^2=2\) 的解称为 \(\sqrt 2\)。对于另一些数，它们的平方根不止一个，例如 \(\sqrt 3\) 可以为 \(5\) 或 \(6\). 有趣的是，对于两个平方相等的数，它们的和为 \(0\).
lilidawang 给出了解决方案。他引入虚数单位 \(i^2=A\)，于是 \([0, A]\) 内[1]的数都有了平方根。当然，新的问题是有的复数不存在平方根，例如 \(1+3i\)。
EntropyDecreaser 对无理数进行了更深入的研究，详见 \(0\) 章。
一阵铃声响起，y494383 的思绪从《远世代数》中被拉回了现实。眼前的电脑上是 Karry5 的少项式 Blog——作为实数环技术的发明人，Karry5 无疑对少项式科技有着超常的理解：
现在通用的少项式形如 \(\sum \limits_{i=0}^{A} a_i x^{\underline i}\)，相比更早期的 \(\sum a_i x^i\) 形多项式，人们发现它有更好的性质——便于差分和求和。
合上面前的《远世代数》，y494383 决定写 Karry5 出的萌新例题毒瘤题。写写写。WA。调调调。RE。再调。TLE。卡。AC。不知不觉就过去了 1h[2]。
sto Karry5。
这是 pION（全国青少年想象学奥林匹克联赛）前的最后几天了。y494383 是第一次参赛，也是最后一次。不知为何，他的心情没有想象中的紧张。可能是因为想象力不够丰富吧。
吃完饭 y494383 回到了机房。guluo-gza 和 MatrixRing 手里拿着扑克牌：
“3-斗地主三缺一，速来！”
于是 y494383 开始摸鱼。
一套标准的扑克里有 \([0, A]\) 的牌若干张，还有几张特殊牌。所谓“\(x\)-斗地主”，就是出完一张牌 \(k\) 后下一张要出 \((k, k+x]\) [3]以内的牌。另外还有一张 \(i\) 可以当任意数。至于上面不标数字而是标少项式的牌，就是想象学竞赛中特有的玩法了。想象学竞赛一大特点也在此，只要你有想象力，没有什么是做不到的。
\(7\) min 后，牌堆变成了这样：
\([1,3,4,7,A,0,\cdots,1,1,4,5,1,4,\cdots]\)
y494383 输了一小局。好消息是，他最终获胜了，因为他的大比分最先达到了 \(0\)。MatrixRing 虽然技术高超，但吃了一个 \(+2\)pts 后大比分直接从 \(A\) 到了初始的 \(1\)，导致他反胜为败。
“你说的对，但我的比分是 \([4,4,6]\).”
“那是什么？”
“是 fangchang 的集训队论文里提出来的一个结构。如果我们不用数字 \(A\)，计数时 \(9\) 之后就是 \(0\)，就有了一套类似的代数，记作基 \(A\) 代数。然而它的性质不好：有些分母不为 \(0\) 的分数是不可化简的，如 \(\dfrac{3}{5}\)。因此 fangchang 转而发明了三模 exCTR，就是分别把普通的数，基 \(A\) 和基 \(9\) 的数算出来。”
“三模……是在他考三模的时候发明的吗……”
“谁知道呢。
“对了，有空可以做一套三模扑克。”
y494383 回到电脑前，下载了 fangchang 的集训队论文。
pION 考前看集训队论文真的有用吗？
在少项式中，\(x^a x^b = x^{a+b}\)；
这都多古老的形式了……现在少项式不都用 \(x^{\underline a}\) 吗？
但如果把 \(x\) 用具体的数字代换，此性质就未必成立。在底数为数字时，本文将指数上的符号用 \(\mathit {0} \sim \mathtt{A}\) 来表示，如 \(2^{\mathit 4}, 3^{\mathtt A}\).
注意到 \(\mathit 0 \sim \mathtt A\) 不能用普通的加法，我们列出加法表。注意到……
y494383 开始列表。
| \(\dfrac{z}{x}^{\large \mid y}\) | \(\mathit 0\) | \(\mathit 1\) | \(\cdots\) |
|---|---|---|---|
| \(\mathit 0\) | 0 | 1 | |
| \(\mathit 1\) | 1 | 2 | |
| \(\vdots\) | |||
| \(\mathtt A\) | 0 | 1 |
其中 \(2^z = 2^{x+y}\).
注意到 \(\mathtt A\) 的加法规则和 \(\mathit 0\) 的完全相同，我们猜想：\(\mathtt A=\mathit 0\)，即 \(\mathit 9 + \mathit 1 = \mathit 0\).
我们称这一类数为基 \(A\) 数，它有 \(\mathit 0 \sim \mathit 9\) 中 \(A\) 个不同的符号，且没有 \(A\)。
类似地我们可以发现，基 \(A\) 数 \(x\) 的指数为基 \(4\) 数。
……
论文里对基 \(1 \sim A\) 的代数结构都作了讨论，发现以某些数为基的代数有和普通代数类似的性质。他将这些数称为原数，因为和它们的起源（一般的数）性质类似；或神数，因为这些数有神奇的性质。由于原神玩家很有素质，所以这些数也叫素数或质数。[4] 特别地，由于 \(0\) 和 \(1\) 过于特殊，它们不算在原数中。
y494383 搜了搜发现“质数”在往届的 ION 中真的出现过：从命名来看，它们就有极大的想象空间。ION 出题人[5]当然不会放过这样一个 idea 了。
在操场跑道上散步时，y494383 陷入了想象中。
一直以来，人们对于比较数量的做法还停留在远古时期。例如要比较两杯水的多少，就用更小的杯子各装走一杯，然后递归地比较。这正如环形跑道上两个人距离的比较，只看位置是没法得知的。那如果把跑道扩大呢？扩到足够长，只要已知两人同起点且都没有走完一圈，就是可以比较的！
但是……数呢？总不能造出无限个符号吧。
还有分数，也是没法比较的。
还有虚数，就更不用说了。
y494383 的思维开始打结。
先考虑只有自然数的情况。
过了 \(8\)min，他放弃了。他发现自己在空旷的跑道上走了许久，终于还是回到了原点。
他回到机房关掉电脑。
在关机前，他瞥见了一个熟悉的标题——
少项式。
pION 快开始了，y494383 来到考点附近。
y494383 看向窗外。红绿灯在 \([0, A]\) 间跳动。他们在环状的交通网上穿行，从一个环到另一个环。
世界就是一个大环。
万物在不断循环。
数学在研究环。
大环套小环。
九曲连环。
实数环。
苯环。
环。
苯环。
实数环。
九曲连环。
大环套小环。
数学在研究环。
万物在不断循环。
世界就是一个大环。
万物在不断循环。
数学在研究环。
……
y494383 觉得自己有点太过魔怔了。
但这不正是想象学竞赛所需要的吗？
转眼就来到了 pION Day 1。
pION 会下发 T1 和 T2，但 T3 需要自己想象。做完 T1 和 T2 后，y494383 想象着这次的 T3：
本题采用话题作文的形式，题目如下。
素性测试
选择一个奇素数，写一篇文章。这个数应该是特殊的，也就是说如果想用别的数来写（不限于奇素数），就难以达到相近或更好的效果。
这个数可以本身就具有特殊性质，也可以在这篇文章中具有较强的特殊性，等等。你可以自己阅读一下文章列表。
你可以在写之前咨询 €€₤ 是否切题。
为了进行素性测试，要求这个素数的二进制位数在 \([0,6]\)。
然而你不用太切题，比如《论最小的奇素数 \(3\) 的性质》就是一个太切题的例子。我们有最魔怔切题奖，大家可以竞争一下！
对于想象力较强的文章，会酌情放宽限制，而想象力较弱的则会卡的更严。对于 €€₤ 很不喜欢的文章，可以无理由拒绝；但你交钱后仍然可以以 D 类的身份参与 pION 并评奖。
……
每篇字数【乱码】 \(1\)，【乱码】\(3\)，不能是无意义文章或完全不魔怔的文章。也不能是有意义文章或完全魔怔的文章。也不能【乱码】。
……
被判定为离题的文章将导致作者禁赛 \(3+3i\) 年，其所在省份扣除 \(3i\) 个省队名额。我劝你少离题，因为这个只要你想切题是真的不会离题（
还是想象力不够啊……还有“二进制位数”是什么东西？是不是我想象错了？
题目都想不全，要爆零了。寄。
y494383 开始骗分。
什么，你问我他的解法在哪？点这里。
练习
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为什么 y494383 的名字没有对 \(0d11\) 取模？
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实数环在 OI 中有怎样的应用？
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y494383 最后结局如何？证明你的猜想。
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如果衬衫的价格是 \(0d9\) 磅 \(0d15\) 便士，那么在 E 球的价格如何？（提示：你不用真的算出答案，只要选 C 项即可）
注
下面是脚注。加这一行是为了和上面的练习区分开。
