四元数 学习笔记

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目录

• 复数
  • 极坐标表示
• 三维旋转
• 四元数
  • Grassmann 积
  • 纯四元数
  • 共轭
  • 逆
• 三维旋转，但是四元数
  • 矩阵形式
  • 旋转的复合
  • 四元数的插值
  • 杂
• 参考资料

复数

在了解四元数之前，要先了解复数对空间干了什么。

设有复数 $z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}$，则

$$z_1{z}_2=ac-bd+(bc+ad)\mathrm{i}$$

如果将 $z_1$ 看作变换， $z_2$ 看作数，则用线性代数的语言表达就是

$$z_1{z}_2=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$$

我们可以发现，复数相乘这个运算，其实是与 $\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$ 这个矩阵所代表的变换是等价的.

现在来观察一个单位复数 $z_1$ 对坐标系的基底干了什么。

将 $z_1$ 写成矩阵形式：$z_1=\cos (\theta )+\mathrm{i}\sin (\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]$.

因此它将 $(1,0)$ 的基底旋转到了 $(\cos \theta ,\sin \theta )$，也即逆时针旋转了 $\theta$.

极坐标表示

$\exp (\mathrm{i}\theta )=\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta$.

因此对于任意复数 $z$，我们都能用 $r{e}^{\mathrm{i}\theta }$ 表示。

不难发现 $z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{\mathrm{i}({\theta }_1+{\theta }_2)}$，用人话说就是复数相乘之后模长相乘，角度相加。

三维旋转

假设三维空间中有一个点 $\mathbf{u}=(x,y,z)$，绕一个经过原点的轴 $\mathbf{v}=(r,s,t)$ 逆时针旋转 $\theta$. 假定 $\Vert \mathbf{v}\Vert =1$.

首先可以将 $\mathbf{u}$ 分解为平行于 $\mathbf{v}$ 的分量和垂直于 $\mathbf{v}$ 的分量。平行的分量转了等于没转，下面考虑 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 垂直，且 $\mathbf{u}\ne \mathbf{0}$ 的情况。

既然是垂直，就回到了平面的情况。但平面需要两个向量来确定，因此我们可以找另一个垂直于 $\mathbf{v}$ 的向量：$\mathbf{w}=\mathbf{v}\times \mathbf{u}$. 不难发现 $\Vert \mathbf{w}\Vert =\Vert \mathbf{u}\Vert$，且 $\mathbf{w}$ 就是 $\mathbf{u}$ 绕 $\mathbf{v}$ 逆时针旋转 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ 得到的向量。

现在问题变成了：在平面里，给定 ${\mathbf{z}}_{\mathbf{1}}$ 和它逆时针旋转 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ 后的向量 ${\mathbf{z}}_{\mathbf{2}}$，求 ${\mathbf{z}}_{\mathbf{1}}$ 逆时针旋转 $\theta$ 后得到的向量。

相信你会做，答案是 $\cos (\theta ){\mathbf{z}}_{\mathbf{1}}+\sin (\theta ){\mathbf{z}}_{\mathbf{2}}$. 将这个结论应用到上面即可。

于是，我们得到了三维旋转公式：

$${\mathbf{u}}^{\prime }=\cos (\theta )\mathbf{u}+(1-\cos (\theta ))(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})\mathbf{v}+\sin (\theta )(\mathbf{v}\times \mathbf{u})$$

其中 ${\mathbf{u}}^{\prime }$ 是旋转后的 $\mathbf{u}$, $\mathbf{u}$ 是任意向量，$\mathbf{v}$ 是表示旋转轴的单位向量。

四元数

形如 $q=a+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}$，其中 $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.

全体四元数构成的集合为 $\mathbb{H}$.

注意，四元数乘法不符合交换律。

Grassmann 积

如果把四元数的实部单拿出来，就可以写成一个实数和一个三维向量的有序对。

设 $q_1,q_2\in \mathbb{H}$，$q_1=(a,b,c,d)=(a,\mathbf{v}),q_2=(e,f,g,h)=(e,\mathbf{u})$（其中 $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}b\\ c\\ d\end{array}\right],\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}f\\ g\\ h\end{array}\right]$）.

则有

$$q_1{q}_2=(ae-\mathbf{v}\cdot \mathbf{u},a\mathbf{u}+e\mathbf{v}+\mathbf{v}\times \mathbf{u})$$

读者自证不难（

纯四元数

实部为 $0$ 的四元数。

一个性质：设 $q_1=(0,\mathbf{v}),q_2=(0,\mathbf{u})$

则有

$$\begin{array}{rl}{q}_1{q}_2& =(0-\mathbf{v}\cdot \mathbf{u},0+\mathbf{v}\times \mathbf{u})\\ & =(-\mathbf{v}\cdot \mathbf{u},\mathbf{v}\times \mathbf{u})\end{array}$$

共轭

三个虚部全部取相反数。四元数 $q$ 的共轭记作 $\overline{q}$ 或 $q^{\ast }$.

和虚数类似，$q\overline{q}=\Vert q{\Vert }^2$. 证明可以大力展开.

逆

由于 $q\overline{q}=\Vert q{\Vert }^2$，因此对 $q\ne 0$，它的逆是 ${\displaystyle \frac{1}{\Vert q{\Vert }^2}}\overline{q}$.

三维旋转，但是四元数

回忆在描述二维旋转的时候，我们对空间做了什么：用复数来描述二维空间里的点，然后用复数乘法来进行旋转。

现在对于四元数，能否拿来主义呢？

第一步是描述三维空间里的点。

对于一个三维空间的点，显然它只能填满四元数的三个维度。剩下的一个维度怎么办？那就空着吧。$i,j,k$ 三个维度一看就有大用，等式 ${\mathrm{i}}^2={\mathrm{j}}^2={\mathrm{k}}^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1$ 告诉我们这三个维度有高度的对称性，那就只剩下实数维度了。

下面，用一个纯四元数 $v$ 与三维向量 $\mathbf{v}$ 相对应： $v=(0,\mathbf{v})$.

现在考虑上文提到的三维旋转问题：将点 $u$ 绕点 $v$ 和原点形成的直线逆时针旋转 $\theta$，求旋转后 $u$ 的位置 $u^{\prime }$.

还是假设 $u$ 垂直于 $v$。

回顾向量乘法的结论，旋转后的向量应该为 $\cos (\theta )\mathbf{u}+\sin (\theta )\mathbf{v}\times \mathbf{u}$.

观察纯四元数的乘积：$q_1{q}_2=(-\mathbf{v}\cdot \mathbf{u},\mathbf{v}\times \mathbf{u})$

尝试直接将 $u$ 与 $v$ 相乘：$vu=(-\mathbf{v}\cdot \mathbf{u},\mathbf{v}\times \mathbf{u})=(0,\mathbf{v}\times \mathbf{u})$，其中后一步是因为 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 垂直。

还差一个 $\sin (\theta )$ 的分量，尝试直接乘上，再拼拼凑凑：$\cos (\theta )u+\sin (\theta )vu=(0,\cos (\theta )\mathbf{u}+\sin (\theta )\mathbf{v}\times \mathbf{u})$ 就是我们想要的结果。

它还可以化简为 $(\cos (\theta )+\sin (\theta )v)u$.

有没有发现它和复数的极坐标表示很像？事实上的确如此，对单位纯虚四元数 $v$，有 $e^{v\theta }=\cos (\theta )+v\sin (\theta )$.

接下来令 $q=e^{v\theta }$，我们想要的结果就是 $qu$.

现在考虑 $u$ 不垂直于 $v$ 的情况。接下来的化简需要一些注意力（

首先还是将 $u$ 拆成两部分 $u_{\perp }$ 和 $u_{\parallel }$.

记 $q=\cos (\theta )+v\sin (\theta )$，$p=\cos (\theta /2)+v\sin (\theta /2)$. $p,q$ 均为单位四元数且 $p^2=q$.

$$\begin{array}{rl}{u}^{\prime }& =u_{\parallel }+q{u}_{\perp }\\ & =p{p}^{-1}{u}_{\parallel }+p^2{u}_{\perp }& (p^2=q)\\ & =p\overline{p}{u}_{\parallel }+pp{u}_{\perp }& (p^{-1}=\overline{p})\end{array}$$

接下来有两个引理，可以用 Grassmann 积证明.

假设 $v_{\parallel }$ 为纯四元数，$q=(\alpha ,\beta u)$，其中 $u$ 为单位向量，$\alpha ,\beta \in R$. 此时若 ${\mathbf{v}}_{\parallel }$ 平行于 $u$，则 $v_{\parallel }q=q{v}_{\parallel }$.

假设 $v_{\perp }$ 为纯四元数，$q=(\alpha ,\beta u)$，其中 $u$ 为单位向量，$\alpha ,\beta \in R$. 此时若 ${\mathbf{v}}_{\perp }$ 垂直于 $u$，则 $v_{\perp }q=\overline{q}{v}_{\perp }$.

然后继续变形：

$$\begin{array}{rl}{u}^{\prime }& =p\overline{p}{u}_{\parallel }+pp{u}_{\perp }\\ & =p{u}_{\parallel }\overline{p}+p{u}_{\perp }\overline{p}\\ & =p(u_{\parallel }+u_{\perp })\overline{p}\\ & =pu\overline{p}\\ & =pu{p}^{-1}\end{array}$$

就得到了一个简洁的式子：$u^{\prime }=pu{p}^{-1}$.

矩阵形式

左乘一个四元数 $q=a+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}$ 有相应的矩阵形式

$$\left[\begin{array}{cccc}a& -b& -c& -d\\ b& a& -d& c\\ c& d& a& -b\\ d& -c& b& a\end{array}\right]$$

旋转的复合

有引理：

$\mathrm{\forall }{q}_1,q_2\in H,\overline{q_1}\overline{q_2}=(q_2{q}_1{)}^{\ast }$

于是旋转的复合可以写成 $q_2{q}_{1}p\overline{q_1}\overline{q_2}=(q_2{q}_1)p(q_2{q}_1{)}^{\ast }$

四元数的插值

咕咕咕……

杂

四元数与旋转矩阵并不一一对应，而是二对一。（$q$ 与 $-q$ 代表同一个旋转）

参考资料

Krasjet 的教程