P3750 [六省联考 2017] 分手是祝愿 做题记录
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题目描述
Zeit und Raum trennen dich und mich.
时空将你我分开。
B 君在玩一个游戏,这个游戏由 \(n\) 个灯和 \(n\) 个开关组成,给定这 \(n\) 个灯的初始状态,下标为从 \(1\) 到 \(n\) 的正整数。
每个灯有两个状态亮和灭,我们用 \(1\) 来表示这个灯是亮的,用 \(0\) 表示这个灯是灭的,游戏的目标是使所有灯都灭掉。
但是当操作第 \(i\) 个开关时,所有编号为 \(i\) 的约数(包括 \(1\) 和 \(i\))的灯的状态都会被改变,即从亮变成灭,或者是从灭变成亮。
B 君发现这个游戏很难,于是想到了这样的一个策略,每次等概率随机操作一个开关,直到所有灯都灭掉。
这个策略需要的操作次数很多,B 君想到这样的一个优化。如果当前局面,可以通过操作小于等于 \(k\) 个开关使所有灯都灭掉,那么他将不再随机,直接选择操作次数最小的操作方法(这个策略显然小于等于 \(k\) 步)操作这些开关。
B 君想知道按照这个策略(也就是先随机操作,最后小于等于 \(k\) 步,使用操作次数最小的操作方法)的操作次数的期望。
这个期望可能很大,但是 B 君发现这个期望乘以 \(n\) 的阶乘一定是整数,所以他只需要知道这个整数对 \(100003\) 取模之后的结果。
输入格式
第一行两个整数 \(n, k\)。
接下来一行 \(n\) 个整数,每个整数是 \(0\) 或者 \(1\),其中第 \(i\) 个整数表示第 \(i\) 个灯的初始情况。
输出格式
输出一行,为操作次数的期望乘以 \(n\) 的阶乘对 \(100003\) 取模之后的结果。
思路
首先注意到最高位上的灯只能自己控制,由此可以得出最高位上的开关使用情况。
设 \(f(x)\) 为有 \(x\) 个开关已符合最终状态时,到最终状态的期望步数。
考虑 \(x \in [0,k)\) 的情况。
其中
(博客园不支持 \coloneqq
只能写成 \equiv
)
这样就可以递推了。边界条件:\(g(0)=-1\).