P3750 [六省联考 2017] 分手是祝愿 做题记录

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题目描述

Zeit und Raum trennen dich und mich.
时空将你我分开。

B 君在玩一个游戏，这个游戏由 \(n\) 个灯和 \(n\) 个开关组成，给定这 \(n\) 个灯的初始状态，下标为从 \(1\) 到 \(n\) 的正整数。

每个灯有两个状态亮和灭，我们用 \(1\) 来表示这个灯是亮的，用 \(0\) 表示这个灯是灭的，游戏的目标是使所有灯都灭掉。

但是当操作第 \(i\) 个开关时，所有编号为 \(i\) 的约数（包括 \(1\) 和 \(i\)）的灯的状态都会被改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。

B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机操作一个开关，直到所有灯都灭掉。

这个策略需要的操作次数很多，B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，可以通过操作小于等于 \(k\) 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个策略显然小于等于 \(k\) 步）操作这些开关。

B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 \(k\) 步，使用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。

这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 \(n\) 的阶乘一定是整数，所以他只需要知道这个整数对 \(100003\) 取模之后的结果。

输入格式

第一行两个整数 \(n, k\)。
接下来一行 \(n\) 个整数，每个整数是 \(0\) 或者 \(1\)，其中第 \(i\) 个整数表示第 \(i\) 个灯的初始情况。

输出格式

输出一行，为操作次数的期望乘以 \(n\) 的阶乘对 \(100003\) 取模之后的结果。

思路

首先注意到最高位上的灯只能自己控制，由此可以得出最高位上的开关使用情况。

设 \(f(x)\) 为有 \(x\) 个开关已符合最终状态时，到最终状态的期望步数。

\[f(x)= \left\{ \begin{array}{lc} 1+\dfrac{x}{n}f(x-1)+\dfrac{n-x}{n}f(x+1) &, x \in [0, k) \\ n-k & , x \in [k, n] \end{array} \right. \]

考虑 \(x \in [0,k)\) 的情况。

\[\begin{align*} nf(x) & = n + xf(x-1) + (n-x)f(x+1) \\ n(f(x+1)-f(x)) &= xf(x+1) - xf(x-1) - n \\ n g(x) &= x g(x)+ x g(x-1) - n \end{align*} \]

其中

\[g(x) \equiv f(x+1)-f(x) \]

（博客园不支持 \coloneqq 只能写成 \equiv）

这样就可以递推了。边界条件：\(g(0)=-1\).