莫队学习笔记

这是一篇模仿算导风格的学习笔记。

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普通莫队

例题：P1494

给定一个长为 $n$ 的数组 $a$ 和 $m$ 个询问（有序数对）$b_i=(l_i,r_i)$，询问允许离线，对每个询问 $(l,r)$ 求出满足 $l\le i<j<r\wedge a_i=a_j$ 的数对 $(i,j)$ 数量.

1. 证明：若数 $x$ 在 $a$ 数组下标为 $[l,r)$ 的部分中出现次数为 $c_x$，则询问 $(l,r)$ 的答案为 $$\sum _{c_x\ge 2}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{c_x}{2})}$$

2. 若已知 $[l,r)$ 区间的 $c_x$ 和答案，设计一种方法，在 $\mathrm{\Theta }(1)$ 的时间内得到 $[l,r+1)$，$[l,r-1)$，$[l-1,r)$，$[l+1,r)$ 区间的相关信息。（提示：${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{2})}-{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2})}=x$）

3. 对于询问 $b_i$ 和 $b_j$，从 $b_i$ 每次 $\mathrm{\Theta }(1)$ 移动端点到 $b_j$ 的最坏复杂度是多少？对于 $m$ 个询问，每次暴力移动的最坏总复杂度是多少？

4. 若将 $m$ 个询问按某个端点（$l$ 或 $r$）排序，则最坏总复杂度是多少？

5. 设计一种方法，在一个端点有序时使另一个端点相对集中。分析排序后暴力转移端点的时间复杂度。（提示：将这些询问分成 $\lceil {\displaystyle \frac{m}{B}}\rceil$ 块，使每块内某个端点之差不超过 $B$）

6. $B$ 取何值时，总复杂度最小？（提示：$p,q$ 为正数时 ${\displaystyle \frac{p}{x}}+qx\ge 2\sqrt{pq}$，当且仅当 ${\displaystyle \frac{p}{x}}=qx$ 时取等）

二次离线莫队

例题：P4887

珂朵莉给了你一个长为 $n$ 的序列 $a$，每次查询给一个区间 $[l,r]$，查询 $l\le i<j\le r$，且 $a_i\oplus a_j$ 的二进制表示下有 $k$ 个 $1$ 的二元组 $(i,j)$ 的个数。$\oplus$ 是指按位异或。

1. 右端点从 $r$ 移动到 $r^{\prime }(r^{\prime }>r)$ 时，答案的变化量是多少？对左端点和 $r^{\prime }<r$ 的情况同样分析.

2. 把一个点 $x$ 对 $[l,r)$ 的贡献（一个点在 $[x,x]$，另一个点在 $[l,r)$ 的点对数量）拆成 $x$ 对 $[0,r)$ 的贡献减 $x$ 对 $[0,l)$ 的贡献；设计一种预处理的方法，在 $\mathrm{\Theta }(1)$ 时间内计算 $r$ 对 $[0,r)$ 的贡献.

3. 对于 $r$ 移动中 $r$ 对 $[0,l)$ 的贡献，将全程总贡献表示为一个区间对另一区间的贡献.

4. 对于 $[r,r^{\prime })$ 对 $[0,l)$ 的贡献，如何暂存这些“离线询问”以便一起回答？（提示：$[r,r^{\prime })$ 区间可能有 $O(n^2)$ 个；$[0,l)$ 区间只有 $\mathrm{\Theta }(n)$ 个）

5. 设计一种方法回答上一问暂存的“询问”.（提示：考虑从 $[0,l)$ 扩展到 $[0,l+1)$，一共会扩展 $\mathrm{\Theta }(n)$ 次；单点对区间的询问有 $\mathrm{\Omega }(m)$ 个，如何安排转移的询问的复杂度？）