网络单纯形 学习笔记
upd: 修了英文与标点间多空格的锅。
upd: 修了中文与符号间少空格的锅，补上一处句号。
网络单纯形是一种神奇的算法。它可以求解带负圈的费用流，可以过 HLPP 板子，但它的（最坏）复杂度好像是指数级，尽管我并不会证。
感性理解：它和线规算法 simplex 有许多相似之处，而 simplex（最坏）是指数级的。
虽然但是，据 CF（见本文末尾）上所讲，它的平均时间复杂度是 \(O(VE)\)，且常数较小（无 LCT 情况下）。SPFA被卡前：这我熟。
网络单纯形算法可用来求解无源汇有负圈上下界最小费用可行流。好像常见的网络流都可以转化为这个，但加入上下界后常数会略大，不知道是不是我写炸了，欢迎大佬修改。
将有源汇最小费用最大流转换为无源汇最小费用可行流的方法：从汇向源连一条费用为 \(-\infty\)，流量为 \(+\infty\) 的边。实际可取 inf 为其余边费用/流量之和加一。
将上下界最小费用可行流转换为一般的最小费用可行流的方法：先所有边强制推下界的流，记录“溢出”的流，建虚拟点 \(K\)，\(K\) 向所有“上溢”（流量有多余）的点连边，权为 \(-\infty\)；所有“下溢”的点向 \(K\) 连边，权为 \(0\)。最后检查这些边是否跑满即可。
感性理解：若存在一条路径，从某个“上溢”的点 \(A\) 到另一个“下溢”的点 \(B\)，则它与 \(B \rightarrow K \rightarrow A\) 的路径构成负环，可推流（见下文），这相当于之前我们强制推的流从这条路径回去。
网络单纯形算法的大致思路：求解最小费用可行流时，给定图 \(G=(V,E)\)，在算法过程中，我们维护它的生成森林（原图可能不联通）边集 \(T\)，每次找一条不在 \(T\) 内的边 \(t \in E \setminus T\)，若 \(T \cup \{t\}\) 包含负环，则在 \(T\) 中沿此负环推流，选出一条满流的边删去，将 \(t\) 加入 \(T\)。重复此过程直到 \(T\) 中不含负环，我们就得到了 \(G\) 的最小费用可行流。这样的思想使得网络单纯型算法天生就支持带负环的费用流。
线规角度的解释：生成森林相当于初始可行解，向负环推流相当于转动变量。
判断一条边加入生成树后是否有负环
考虑函数 \(h:V \rightarrow \mathbf{R}\)，满足对 \(\forall e \in T, h(e.\text{to}) - h(e.\text{from}) = e.\text{cost}\)，那么对于两个点 \(a,b\)，\(h(a)-h(b)\) 就是 \(T\) 上 \(a\) 到 \(b\) 一条路的权值之和。对边 \(e \in E\)，若 \(h(e.\text{to}) - h(e.\text{from}) + e.\text{cost} < 0\)，则它所在的环路（沿着它的方向）为负环。这样可做到 \(\Theta(1)\) 判断是否这条边加入后存在负环。
找到负环后推流
先从 \(e.\text{from}\) 和 \(e.\text{to}\) 向上跳到 LCA，再从两边分别找能推的最小流值，最后推流。
这里如果用 LCT 维护，则可从 \(O(n)\) 优化到 \(O(\log n)\)，但常数大。
推流后，别忘了删边并反转被删的链的父子关系，保证生成树还是树。
Code
实现注意点
-
使用时间戳标记
pi是否过期 -
建初始生成树时 一定 要从汇点（有源汇）/虚拟 \(K\) 点（上下界）开始，否则会在某些数据上 TLE，原因未知
也可以理解为玄学
一些乱搞优化
- 扫描边时预先打乱，example
