可持久化权值线段树 学习笔记

权值线段树

普通的线段树，一个 \([l,r)\) 的结点维护的是 \([l, r)\) 所有数的和之类的信息。权值线段树，\([l, r)\) 的结点维护的是 全局 有几个数落在 \([l, r)\) 内之类的信息。

可持久化权值线段树

普通的权值线段树只能查询 全局 内有几个数在 \([l, r)\) 里，那我如果想查询下标 \([m, n)\) 呢？

首先，记 \(c(m, n, l, r)\) 为 \([m, n)\) 内有几个数在 \([l, r)\) 里。注意到 \(c(m, n, l, r) = c(1, n, l, r) - c(1, m, l, r)\)，问题转化为求 \([1, n)\) 内有几个数落在 \([l, r)\) 内。

其次，每次加入一个数就建一棵新的权值线段树，维护 \([1, n)\) 的「全局」信息。（插入时刻只有 \([1, n)\) 的数，对它来说是全局）

问题解决 然而问题还没解决。每次开一棵新的树显然太浪费空间了，因此需要用可持久化。

这就是为什么区间 \(k\) 小值要用到「可持久化」这种东西。