皇后游戏 题解
题目描述
皇后有 \(n\) 位大臣,每位大臣的左右手上面分别写上了一个正整数。恰逢国庆节来临,皇后决定为 \(n\) 位大臣颁发奖金,其中第 \(i\) 位大臣所获得的奖金数目为第 \(i-1\) 位大臣所获得奖金数目与前 \(i\) 位大臣左手上的数的和的较大值再加上第 \(i\) 位大臣右手上的数。
形式化地讲:我们设第 \(i\) 位大臣左手上的正整数为 \(a_i\),右手上的正整数为 \(b_i\),则第 \(i\) 位大臣获得的奖金数目为 \(c_i\) 可以表达为:
当然,吝啬的皇后并不希望太多的奖金被发给大臣,所以她想请你来重新安排一下队伍的顺序,使得获得奖金最多的大臣,所获奖金数目尽可能的少。
注意:重新安排队伍并不意味着一定要打乱顺序,我们允许不改变任何一位大臣的位置。
解法
考虑邻项交换法.
对相邻两大臣 \(k\), \(k+1\),记 \(n_{0}\) 为 \(\sum\limits_{j=0}^{k-1}a_{j}\),\(n_{1}=a_k\),\(n_2=a_{k+1}\),\(m_1=b_k\),\(m_2=b_{k-1}\).
不难发现,交换后更优的充要条件是
然而,直接这样会被毒瘤dalao ouuan 卡成 80 pts(本来就是错解
看完别人的题解后发现不满足严格弱序(不可比性的传递性)
注意到果然我没什么注意力不可比的充要条件是在 \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) 中 \(a=c\le b,d\),且 \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n_1 & n_2 \\ m_1 & m_2\end{bmatrix}\) 旋转整数个 \(\dfrac\pi2\),翻译成人话就是最小两数相等且相邻.
又注意到 \(a=b\) 时(\(c=d\) 同理)满足不可比性的传递性,因此问题只会出在 \(a=b\) 上.
考虑 \(a=b\le c,d\),此时不可比;而对于一组大于 \(c,d\) 的 \(a,b\),比出的结果与 \(c>d\) 相同.于是,我们可以仿照它,令 \(a=b \le c,d\) 时结果为 \(c>d\),完美AC.
另外,也可以令 \(a=b \le c,d\) 时将 \(a,b\) 一组放到前面去,此时要注意 \(a=b=c=d\) 时仍不可比,这样也可AC.