皇后游戏 题解

luogu P2123

题目描述

皇后有 \(n\) 位大臣，每位大臣的左右手上面分别写上了一个正整数。恰逢国庆节来临，皇后决定为 \(n\) 位大臣颁发奖金，其中第 \(i\) 位大臣所获得的奖金数目为第 \(i－1\) 位大臣所获得奖金数目与前 \(i\) 位大臣左手上的数的和的较大值再加上第 \(i\) 位大臣右手上的数。

形式化地讲：我们设第 \(i\) 位大臣左手上的正整数为 \(a_i\)，右手上的正整数为 \(b_i\)，则第 \(i\) 位大臣获得的奖金数目为 \(c_i\) 可以表达为：

\[c_i = \left\{ \begin{array}{lc} a_1+b_1&,i=1 \\ \max\left\{c_{i-1},\sum\limits_{j=1}^{i}a_j\right\}+b_i &,2\le i\le n \end{array} \right. \]

当然，吝啬的皇后并不希望太多的奖金被发给大臣，所以她想请你来重新安排一下队伍的顺序，使得获得奖金最多的大臣，所获奖金数目尽可能的少。

注意：重新安排队伍并不意味着一定要打乱顺序，我们允许不改变任何一位大臣的位置。

解法

考虑邻项交换法.

对相邻两大臣 \(k\), \(k+1\)，记 \(n_{0}\) 为 \(\sum\limits_{j=0}^{k-1}a_{j}\)，\(n_{1}=a_k\)，\(n_2=a_{k+1}\)，\(m_1=b_k\)，\(m_2=b_{k-1}\).

不难发现，交换后更优的充要条件是

\[\max\left\{ n_2+m_1+m_2, n_1+n_2+m_1 \right\} \gt \max\left\{ n_1+m_2+m_1, n_2+n_1+m_2 \right\} \]

然而，直接这样会被毒瘤dalao ouuan 卡成 80 pts（本来就是错解

看完别人的题解后发现不满足严格弱序（不可比性的传递性）

注意到果然我没什么注意力不可比的充要条件是在 \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) 中 \(a=c\le b,d\)，且 \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n_1 & n_2 \\ m_1 & m_2\end{bmatrix}\) 旋转整数个 \(\dfrac\pi2\)，翻译成人话就是最小两数相等且相邻.

又注意到 \(a=b\) 时（\(c=d\) 同理）满足不可比性的传递性，因此问题只会出在 \(a=b\) 上.

考虑 \(a=b\le c,d\)，此时不可比；而对于一组大于 \(c,d\) 的 \(a,b\)，比出的结果与 \(c>d\) 相同.于是，我们可以仿照它，令 \(a=b \le c,d\) 时结果为 \(c>d\)，完美AC.

另外，也可以令 \(a=b \le c,d\) 时将 \(a,b\) 一组放到前面去，此时要注意 \(a=b=c=d\) 时仍不可比，这样也可AC.