第五节 转置、置换和空间

第五节 转置、置换和空间

置换

前三节消元法涉及到的矩阵都是非常巧妙的矩阵，因为在消元过程中它们的的主元都是非零的。如果主元为零，在第二节也提到解决方法，那就是行变换，因此\(LU\)分解由\(A=LU\)变成\(PA=LU\)，\(P\)就是对\(A\)进行行变换的置换矩阵

如果在消元过程中进行“行变换”，那就又会出现一堆\(E\)，变成类似\(EEEPEA=LU\)的形式，所以不建议在消元过程中进行“行交换”，要事先预测哪些行会出现主元为零的情况，先进行“行交换”得到\({A\mathop{{}}\nolimits^{{*}}}\)，变成\({PA=A\mathop{{}}\nolimits^{{*}}=LU}\)的形式

置换矩阵\(P\)是行重新排列了的单位矩阵

比如：

\({\begin{array}{*{20}{l}} {{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }0}\\ {0\text{ }\text{ }1\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }0}\\ {0\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }1}\\ {0\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }1\text{ }\text{ }0} \end{array} \right] }}\right. }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }2\text{ }\text{ }3\text{ }\text{ }4}\\ {4\text{ }\text{ }5\text{ }\text{ }6\text{ }\text{ }7}\\ {0\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }0}\\ {5\text{ }\text{ }6\text{ }\text{ }7\text{ }\text{ }7} \end{array} \right] }}\right. }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }2\text{ }\text{ }3\text{ }\text{ }4}\\ {4\text{ }\text{ }5\text{ }\text{ }6\text{ }\text{ }7}\\ {5\text{ }\text{ }6\text{ }\text{ }7\text{ }\text{ }7}\\ {0\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }0} \end{array} \right] }}\right. }}\\ {\text{ }\text{  }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }P\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }A\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }=\text{ }\text{ }\text{ }A\mathop{{}}\nolimits^{{*}}} \end{array}}\)

转置

转置的数学表达式为：\({ \left( A\mathop{{}}\nolimits^{{T}} \left) \mathop{{}}\nolimits_{{ij}}=A\mathop{{}}\nolimits_{{ji}}\right. \right. }\)

若矩阵\(A\)为对称矩阵（关于主对角线对称），那么\({A\mathop{{}}\nolimits^{{T}}=A}\)

矩阵乘积的转置：\({ \left( AB \left) \mathop{{}}\nolimits^{{T}}=B\mathop{{}}\nolimits^{{T}}A\mathop{{}}\nolimits^{{T}}\right. \right. }\)

给定一个矩阵\(R\)，\(R\)可以不是方阵，那么\({R\mathop{{}}\nolimits^{{T}}R}\)一定是方阵，证明如下：

\({ \left( R\mathop{{}}\nolimits^{{T}}R \left) \mathop{{}}\nolimits^{{T}}=R\mathop{{}}\nolimits^{{T}} \left( R\mathop{{}}\nolimits^{{T}} \left) \mathop{{}}\nolimits^{{T}}=R\mathop{{}}\nolimits^{{T}}R\right. \right. \right. \right. }\)

向量空间

1. 向量可以进行线性计算，即加（\(v+w\)）和数乘（\(3v\)），得到向量的线性组合。向量空间的线性运算封闭，即空间中的向量进行线性运算后得到的向量仍在空间内

   比如\({R\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}\)表示有两个分量的向量空间，是所有二维向量的集合，例如\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {3}\\ {2} \end{array} \right] }}\right. }{,{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {0}\\ {0} \end{array} \right] }}\right. }},{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} { \pi }\\ {e} \end{array} \right] }}\right. }\text{ ……}\)

2. 向量\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {a}\\ {b} \end{array} \right] }}\right. }\)的图像是从原点出发指向\((a,b)\)的箭头，其中第一分量\(a\)为横纵坐标，第二分量\(b\)为纵轴坐标，空间\({R\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}\)的图像为整个\(x-y\)平面

3. 所有向量空间必须包含\(0\)，因为向量空间要满足空间内的向量乘以任何数后的向量也在空间内，任何向量乘以\(0\)还是\(0\)，所以零向量必须在向量空间内

4. 判断区域是否为向量空间：向量通过线性运算后还在空间内，这个空间就是向量空间

   反例：二维空间的第一象限不是向量空间，因为第一象限中的向量乘以负值（即反向延伸）后的向量不在第一象限

子空间

1. 包含在向量空间内的向量空间称为原向量空间的子空间，故子空间也必须包含零向量
   例：
   1. \({R\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}\)的子空间包括：
      • \({R\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}\)空间本身
      • 过原点的一条直线
      • 零向量
   2. \({R\mathop{{}}\nolimits^{{3}}}\)的子空间包括：
      • \({R\mathop{{}}\nolimits^{{3}}}\)空间本身
      • 过原点的一个平面
      • 过原点的一条直线
      • 零向量

列空间

对于矩阵\(A\)，它的列向量属于\({R\mathop{{}}\nolimits^{{3}}}\)空间，这些列向量之间的线性组合张成了\({R\mathop{{}}\nolimits^{{3}}}\)空间的一个子空间，即矩阵\(A\)的列空间\(C(A)\)

如果\({A={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }3}\\ {2\text{ }\text{ }3}\\ {4\text{ }\text{ }1} \end{array} \right] }}\right. }}\)，则\(A\)的列空间是\({R\mathop{{}}\nolimits^{{3}}}\)空间在包含向量\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1}\\ {2}\\ {4} \end{array} \right] }}\right. }\)、\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {3}\\ {3}\\ {1} \end{array} \right] }}\right. }\)和两个向量之间所以线性组合,且过原点的平面