第一节 方程组的几何解释
第一节 方程组的几何解释
首先简单介绍一些基本概念
- 矩阵：一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，\(m \times n\)矩阵代表一个m行n列的矩形阵列
- 向量：向量是只有一行或一列的矩阵，即一个\(1 \times n\)或\(m \times 1\)的矩阵
线性方程的基本问题就是解线性方程组
例：\({ \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} {2x-y=0}\\ {-x+2y=3} \end{array}\right. }\)
分析：
对于二元线性方程组，对应的矩阵表示是
\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }-1}\\ {-1\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }2} \end{array} \right] }}\right. }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {x}\\ {y} \end{array} \right] }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {0}\\ {3} \end{array} \right] }}\right. }}\right. }\)
令：
\({\begin{array}{*{20}{l}} {A={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }-1}\\ {-1\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }2} \end{array} \right] }}\right. }}\\ {x={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {x}\\ {y} \end{array} \right] }}\right. }}\\ {b={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {0}\\ {3} \end{array} \right] }}\right. }} \end{array}}\)
则原线性方程简化为:\(Ax=b\)
矩阵\(A\)称为系数矩阵
从行图像理解方程组
上例中，一行一行看，每一个方程都表示二维平面上的一条直线，作图
两条直线相较于点\((1,2)\)，也就说从行图像上看，方程组的解是一个两条直线的交点
从列图像理解方程组
将原方程组转化成向量形式：
\({x{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2}\\ {-1} \end{array} \right] }}\right. }+y{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {-1}\\ {2} \end{array} \right] }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {0}\\ {3} \end{array} \right] }}\right. }}\right. }}\)
左边两个向量，通过\(x\)和\(y\)的线性组合形成了右边的向量，此时\((1,2)\)是方程组的解，作图
从列图像上看，方程组的解，是找出左侧向量与\(x,y\)的合适组合（即线性组合）得到右侧向量
多元方程组
从两元方程组延伸到三元：
-
行图像：在三维空间中，三个平面的交点（假设有一个解）
例：下面是\({ \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} {x+2y-z=-1}\\ {3y-4z=-4}\\ {2x+y-z=0} \end{array}\right. }\)的行图像
-
列图像：通过左侧三个向量的线性组合，得到右侧向量
综合行图像与列图像的分析，多元方程组的行图像是对矩阵\(A\)的行进行处理，而列图像是对矩阵\(A\)的列进行线性组合
问题
在这里思考一个问题：对于一个三元方程组（线性方程表示）：
\(Ax=x(列1)+y(列2)+z(列3)=b\)
由于\(x,y,z\)都是未知量，它们可能有无数种线性组合，
那么对于任意的\(b\)，是否都能求出\(Ax=b\)？也就是说所有列的线性组合能否覆盖整个三维空间？
答案是否定的
比如在列图像角度分析，对于一个方阵（行数和列数相等的矩阵）\(A\)，当三个列向量在同一平面上时（假设方程组有解），这三个列向量的线性组合也在这个平面上，也就是说\(b\)只能在这个平面上不会覆盖整个三维空间，这时矩阵\(A\)称为奇异矩阵，矩阵\(A\)不可逆的；如果三个列向量不共面，那么它们的线性组合有无数种情况，也就是说\(b\)的取值覆盖了整个三维空间，这时矩阵\(A\)称为非奇异矩阵
这是对奇异矩阵和非奇异矩阵几何理解，后面会再进行深入学习
矩阵与向量的运算
例：
\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2\text{ }\text{ }5}\\ {1\text{ }\text{ }3} \end{array} \right] }}\right. }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1}\\ {2} \end{array} \right] }}\right. }\)
法一：（线性运算）
原式\({=1{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2}\\ {1} \end{array} \right] }}\right. }+2{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {5}\\ {3} \end{array} \right] }=}\right. }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1 \times 2+2 \times 5}\\ {1 \times 1+2 \times 3} \end{array} \right] }}\right. }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {12}\\ {7} \end{array} \right] }}\right. }}\)
法二：（行运算）左侧矩阵\(A\)的每一行点乘右侧向量\(x\)
原式\({={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1 \times 2+2 \times 5}\\ {1 \times 1+2 \times 3} \end{array} \right] }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {12}\\ {7} \end{array} \right] }}\right. }}\right. }}\)
两种方法看似相同，但思路不同，第一种方法思路简单，对于再大点的矩阵运算时不易出错
例2：
\({ \left[ {{\left. {1\text{ }\text{ }5\text{ }} \right] }}\right. }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2\text{ }\text{ }4}\\ {1\text{ }\text{ }5} \end{array} \right] }}\right. }\)
线性运算：
原式\({=1 \times { \left[ {{\left. {2\text{ }\text{ }4} \right] }}\right. }+5 \times { \left[ {{\left. {1\text{ }\text{ }5} \right] }}\right. }={ \left[ {{\left. {1 \times 2+5 \times 1\text{ }\text{ }1 \times 4+5 \times 5} \right] }}\right. }={ \left[ {{\left. {7\text{ }\text{ }29} \right] }}\right. }}\)
从这两个例子可以得到结论：矩阵乘以一列结果是一列，一行乘以矩阵结果是一行
