ACM学习之路___最短路径
一.问题引入
问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径——最短路径。解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*。笔者认为任意一个最短路算法都是基于这样一个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B。
二.Dijkstra算法
(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度(看下面表格的最后一行，就是next点)递增次序产生最短路径。先把V分成两组：
- S：已求出最短路径的顶点的集合
- V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合
将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证）。
(2) 求最短路径步骤
- 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值， 若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和ＳＰＦＡ初始化方式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。
- 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W(贪心体现在此处)，加入S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作用至关重要)，对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值（上面两个并列for循环，使用最小点更新）。
- 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止（说明最外层是除起点外的遍历）。
下面是上图的求解过程，按列来看，第一列是初始化过程，最后一行是每次求得的next点。
(3) 问题：Dijkstar能否处理负权边？（来自《图论》）
答案是不能，这与贪心选择性质有关(ps：貌似还是动态规划啊，晕了)，每次都找一个距源点最近的点（dmin），然后将该距离定为这个点到源点的最短路径；但如果存在负权边，那就有可能先通过并不是距源点最近的一个次优点（dmin'），再通过这个负权边L(L<0)，使得路径之和更小（dmin'+L<dmin）,则dmin'+L成为最短路径，并不是dmin，这样dijkstra就被囧掉了。比如n=3，邻接矩阵：
0，3，4
3，0，-2
4，-2，0
用dijkstra求得d[1，2]=3，事实上d[1，2]=2，就是通过了1-3-2使得路径减小
二.Floyd算法
参考了南阳理工牛帅(目前在新浪)的博客。
Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B，所以，我们假设dist(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点K，我们检查dist(AK) + dist(KB) < dist(AB)是否成立，如果成立，证明从A到K再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置 dist(AB) = dist(AK) + dist(KB)，这样一来，当我们遍历完所有节点K，dist(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。
但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点K放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。
让我们来看一个例子，看下图：
图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点K，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9，而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点K放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时dist(AC)尚未被计算。所以，我们需要改写循环顺序，如下：
for (int k=0; k<n; ++k) {
for (int i=0; i<n; ++i) {
for (int j=0; j<n; ++j) {
/*
实际中为防止溢出，往往需要选判断 dist[i][k]和dist[k][j]
都不是Inf ，只要一个是Inf，那么就肯定不必更新。
*/
if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j] ) {
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
}
}
}
}
如果还是看不懂，那就用草稿纸模拟一遍，之后你就会豁然开朗。半个小时足矣。
再来看路径保存问题：
void floyd()
{
for(int i=1; i<=n ; i++)
{
for(int j=1; j<= n; j++)
{
if(map[i][j]==Inf)
{
path[i][j] = -1;//表示 i -> j 不通
}
else
{
path[i][j] = i;// 表示 i -> j 前驱为 i
}
}
}
for(int k=1; k<=n; k++)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=n; j++)
{
if(!(dist[i][k]==Inf||dist[k][j]==Inf)&&dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
path[i][k] = i;
path[i][j] = path[k][j];
}
}
}
}
}
三.Bellman-Ford算法
为了能够求解边上带有负值的单源最短路径问题，Bellman(贝尔曼，动态规划提出者)和Ford(福特)提出了从源点逐次绕过其他顶点，以缩短到达终点的最短路径长度的方法。 Bellman-ford算法是求含负权图的单源最短路径算法，效率很低，但代码很容易写。即进行不停地松弛，每次松弛把每条边都更新一下，若n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环，无法得出结果，否则就成功完成。Bellman-ford算法有一个小优化：每次松弛先设一个flag，初值为FALSE，若有边更新则赋值为TRUE，最终如果还是FALSE则直接成功退出。Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛，所以SPFA算法用队列进行了优化，效果十分显著，高效难以想象。SPFA还有SLF，LLL，滚动数组等优化。
递推公式(求顶点u到源点v的最短路径)：
dist 1 [u] = Edge[v][u]
dist k [u] = min{ dist k-1 [u], min{ dist k-1 [j] + Edge[j][u] } }, j=0,1,…,n-1,j≠u
Dijkstra算法和Bellman算法思想有很大的区别：Dijkstra算法在求解过程中，源点到集合S内各顶点的最短路径一旦求出，则之后不变了，修改 的仅仅是源点到T集合中各顶点的最短路径长度。Bellman算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的dist[ ]，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman算法结束才确定下来。
算法适用条件
- 1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v)
- 有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图)
- 边权可正可负(如有负权回路输出错误提示)
- 差分约束系统(至今貌似只看过一道题)
Bellman-Ford算法描述：
- 初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0
- 迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次，看下面的描述性证明(当做树)）
- 检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在d[v]中
描述性证明：(这个解释很好)
首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。
其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。
在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1条边，所以，只需要循环|v|-1 次。
每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，这就是Bellman-Ford算法效率底下的原因，也正是SPFA优化的所在）。
，如图(没找到画图工具的射线)，若是B和C的最短路径不更新，那么点D的最短路径肯定也无法更新，这就是优化所在。
如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。
如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。
参考了《图论》。
问题：Bellman-Ford算法是否一定要循环n-1次么？未必！其实只要在某次循环过程中，考虑每条边后，都没能改变当前源点到所有顶点的最短路径长度，那么Bellman-Ford算法就可以提前结束了(开篇提出的小优化就是这个)。
上代码(参考了牛帅的博客)
#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;#define MAX 0x3f3f3f3f#define N 1010int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点typedef struct Edge //边{int u, v;int cost;}Edge;Edge edge[N];int dis[N], pre[N];bool Bellman_Ford(){for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）{dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;pre[edge[j].v] = edge[j].u;}bool flag = 1; //判断是否含有负权回路for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost){flag = 0;break;}return flag;}void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）{while(root != pre[root]) //前驱{printf("%d-->", root);root = pre[root];}if(root == pre[root])printf("%d\n", root);}int main(){scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);pre[original] = original;for(int i = 1; i <= edgenum; ++i){scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);}if(Bellman_Ford())for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路{printf("%d\n", dis[i]);printf("Path:");print_path(i);}elseprintf("have negative circle\n");return 0;四.SPFA算法
用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束；这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford，利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法。
