《向量与复数》

（作业勿锤）
众所周知，向量是由两个因素确定的，即方向与模长（坐标系中是横纵坐标）。
而复数，同样是由两个因素确定的！首先对应上文第一种的是三角表示，对应第二种的是坐标表示。
可以发现这其中有很明显的相似之处。
我们先讨论今天的第一个问题——复数三角表示的乘法运算与向量旋转的关系。
若单位向量a ⃗=(cosA,sinA)，将其旋转B，得(a') ⃗=(cos(A+B),sin(A+B))，
若复数z1=cosA+isinA,z2=cosB+isinB
则其相乘得z3=z1*z2=cosAcosB-sinAsinB+(cosAsinB+cosBsinA)i
=cos(A+B)+sin(A+B)i
用坐标表示就是(cos(A+B),sin(A+B)),与向量完全一样。
所以我们以后用解析法的时候可以用这两个暴力表示
诚然如果我只说相同会被当做废话（地球人都知道复数的几何意义就是个点，是个点就可以进行向量运算），所以第二个问题——复数解题较向量的优越性。我们观察向量和复数的不同时，很不巧地发现了一个（很明显的）：i（即虚数单位）。
正是因为多了一个因素，我们可以用复数干一些向量干不到的事。
首先，如果规定了是复数，那么只要两个数（即实部和虚部）就可以确定它。
这时，那个“i”没什么用，可以忽略。这种情况，复数=向量。
然后讨论不能忽略的情况。
从乘法的角度，向量的数量积得出的是数，向量积是三维的（不确定）。
而复数乘法，得到的是一个二元组。
这就有一个显著的优势了！它可以直接对应到坐标，这是数量积做不到的。
换句话说，有坐标，就可以跟角扯上关系。
拿书上的题举个例子，三个正方形并排摆着，求三个角加起来等于90度那道。
所以，复数的这种性质是向量无法拥有的。
然后，坐稳了，前方超纲。
x^n=1的复数解，我们称之为单位根。
总之单位根的复平面坐标表示一定在单位圆上，自证。
那怎么找单位根呢？

注意，复数相乘，辐角相加！
所以！x^n就是把x转它自己的辐角转n次，要落在（1,0）
所以辐角为2πa/n（a为自然数）的都是单位根的辐角，又因为单位根在单位圆上，故单位根可以确定。（而且n次单位根n等分单位圆，可以想想看）
这个单位根有什么用呢？
大家可以百度一下“FFT”，就不继续讲了！（即“快速傅里叶变换”，是信息学的一种分治算法）
（来自信息学竞赛退役选手）
好了！差不多了。要让我在向量和复数之间选一个，我还是选复数吧！
还有向量您别天天锤我成不……