长梅网课-数学P50例2讲解

题面

需要说的是书上好像打错了

第一问

我们注意到题目给出了
你要相信出题人绝不会放水他只会放海
于是我们列出顶点式：\(y=a(x-1)^2\)
然后意外加惊喜地发现还有一个点（0，\(\frac{1}{4}\)）可用
这不就可以解了吗
\(a(0-1)^2=\frac{1}{4}\),解得\(a=\frac{1}{4}\)
化成一般式为：
\(y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\)
总结:一个顶点+另一个点=抛物线解析式

第二问

让我们注意一下这句话：

将抛物线\(C_1\)向下平移\(h\)个单位得到抛物线\(C_2\)

得出的结论:\(C_2\):\(y=\frac{1}{4}(x-1)^2-h\)
(向下平移，只有常数项c会改变)
注意这个结论，对理解第三问的法二有帮助
继续讲解
直线\(AB\)到\(x\)轴距离为\(m^2\)
\(m=2\),所以距离为\(2^2=4\),因此得出点\(ABCD\)的纵坐标都为4
由于\(B\)、\(C\)所处的抛物线\(C_1\)是已知的，就从\(B\)、\(C\)入手
\(C_1\):\(y=\frac{1}{4}(x-1)^2=4\)
\(x_1=5\),\(x_2=-3\)，所以\(C(5,4)\)
A,C关于\(y\)轴对称，故\(A(-5,4)\)
把\(A(-5,4)\)代入\(C_2\),解得h=5
总结:我们可以尝试从已知处多、关联性强的地方进行突破

第三问

气氛突然苏维埃有趣了起来
这种题比较容易让人乍看之下一头雾水满脑糨糊
先分析题目
题目要求证tan∠EDF-tan∠ECP=\(\frac{1}{2}\)
值得注意的一点：

tan∠A-tan∠B≠tan(∠A-∠B)

不知道有没有人这么做反正不关我事
然后怎么办呢？
看看第二问的总结：我们可以尝试从已知处多、关联性强的地方进行突破
此题没有能一步推出的数据，但不妨碍我们找到能一步推出的关系
于是方法一上场

方法一

从第二问的推导过程中，我们得出：ABCD四个点，知道一个横坐标，就能推出另三个
由于B、C都在\(C_1\)上，不妨直接用\(C_1\)解析式中的\(x\)代入求值
从题目中可推出纵坐标为\(m^2\)
所以方程为\(y=\frac{1}{4}(x-1)^2=m^2\)
直接开方即可解得\(x_1=1+2m\),\(x_2=1-2m\)
于是\(C(1+2m,m^2)\)，又AC关于\(y\)轴对称，所以\(A(-1-2m,m^2)\),AE=ED=2+2m
拿到了点A，代入\(C_2\)的方程：
\(y=\frac{1}{4}(x-1)^2-h\)
\(=\frac{1}{4}[(-1-2m)-1]^2-h=m^2\)
解得h=2m+1 ，所以EF=\(h+m^2\)=\(m^2+2m+1\)

总结:没有数据可推时，可以选择推出未知数间的关系

方法二

先介绍一个引理

引理:二次函数中，△x与△y的关系只由二次项系数a决定

证明:因为图像形状只由二次项系数a决定，老师上课讲过
思维小跳跃预警
设CE为x，则PE=\(\frac{1}{4}x^2\)(引理，可将PE视作△y)
由对称可得CD=2
得ED=\(x+2\)
列出方程:
\(\frac{1}{4}(x+2)^2-\frac{1}{4}x^2=h\)
解释：另行解释
解得h=x+1，即PF=x+1
tan∠EDF-tan∠ECP=\(\frac{\frac{1}{4}x^2+(x+1)}{x+2}-\frac{\frac{1}{4}x^2}{x}\)=\(\frac{1}{2}\)
得证
总结:上方引理