组合数学专题
NC19788 Travel
题意为：将n个节点的树分成m个连通块，并对每个连通块标号的方案数。
思路：初看这道题像树形dp，但一想转移方程和数据范围，感觉不可解。
换成组合数学的角度，将分成m个连通块转化为删去m-1条边，显然删去m-1条边的方案与分成m个连通块的方案是一一对应的，再将连通块标号，就是乘m的阶乘了。
C（n-1，m-1）×m！
NC50039 kotori
题意：n个1-m之间的数排成一排，相邻数不能相等的方案数。
思路：直接给公式：m×pow（m-1，n-1）
关键是扩展：n个1-m之间的数排成一个圆，相邻数不能相等的方案数。
同样的断链成环
https://www.luogu.com.cn/problem/P1357
#include <iostream>
#include <cstring>
#define inf 2147483647
#define ll long long
using namespace std;
const ll mo=1e9+7;
ll n,m,k,N;
ll ans[33][33],w[33][33],a[33][33];
//f0[i][j]：首项是0，到了第i项时为j的条件方案数。
void mi()
{
ll kp[33][33]={0};
for (int i=0;i<N;i++) for (int j=0;j<N;j++) {
kp[i][j]=0;
for (int k=0;k<N;k++) kp[i][j]=(kp[i][j]%mo+ans[i][k]*w[k][j]%mo)%mo;
}
for (int i=0;i<N;i++)
for (int j=0;j<N;j++) ans[i][j]=kp[i][j];
}
void zc()
{
ll kp[33][33]={0};
for (int i=0;i<N;i++) for (int j=0;j<N;j++)
{ kp[i][j]=0;
for (int k=0;k<N;k++) kp[i][j]=(kp[i][j]%mo+w[i][k]*w[k][j]%mo)%mo;
}
for (int i=0;i<N;i++)
for (int j=0;j<N;j++) w[i][j]=kp[i][j];
}
void ksm(ll k)
{
for (int i=0;i<N;i++) ans[i][i]=1;
while (k){ if (k&1) mi(); k/=2; zc(); }
}
int check(int x) //初赛学到的可快速算二进制中1的函数.
{ int sm=0;
while (x){ x= x&(x-1); sm++; }
return sm;
}
int main()
{
cin>>n>>m>>k; N=(1<<m);
for (int i=0;i<N;i++) if (check(i)<=k) //预处理构造矩阵
{
int j=i>>1; w[j][i]=1;
j|=(1<<(m-1)); if (check(j)<=k) w[j][i]=1;
}
ksm(n); ll sm=0;
for (int i=0;i<N;i++)
if (check(i)<=k) sm=(sm+ans[i][i])%mo;
cout<<sm<<endl;
}
NC14735 美丽的项链
就是一个基础dp
#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int maxn=100;
#define max(a,b) a>b?a:b
int n,m,a[maxn],l[maxn],r[maxn];
long long dp[maxn][maxn+1];
int main(){
int i,j,k;
//freopen("input.txt","r",stdin);
while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
for(i=0;i<n;i++) scanf("%d%d",l+i,r+i);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=l[0];i<=r[0];i++) dp[0][i]=1;
for(i=1;i<n;i++)
for(j=1;j<=m;j++){
int left=max(0,j-r[i]),right=max(0,j-l[i]);
for(k=left;k<=right;k++) dp[i][j]+=dp[i-1][k];
}
printf("%lld\n",dp[n-1][m]);
}
}//dp[i][j]表示用前i种宝石组成j颗宝石的项链的方案数
//但是第i种只能是l[i]到r[i]之间的数量
//所以dp[i][j]=dp[i-1][j-r[i]]+dp[i-1][j-r[i]+1]+...+dp[i-1][j-l[i]]
NC15251 白兔的式子
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NC16543 NC20824
NC15077
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/15077
因为要保证一定经过该点 所以将路线图分为两部分的卡特兰数
这个是我高中数学老师张刚讲组合数的时候讲的方法 我印象很深
NC16537
【C++】球盒问题总结（八种情况）https://blog.csdn.net/Ljnoit/article/details/102211595
namespace CNM {//组合数板子
const int N = 2e6 + 5;
ll quick(ll x, ll n)
{
ll res = 1;
while (n)
{
if (n & 1) res = (res*x) % mod;
x = x * x%mod;
n >>= 1;
}
return res;
}
ll inv(ll x) { return quick(x, mod - 2); }
ll fac[N], invfac[N];
void init()
{
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; ++i) fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod;
invfac[N - 1] = inv(fac[N - 1]);
for (int i = N - 2; i >= 0; --i) invfac[i] = (invfac[i + 1] * (i + 1)) % mod;
}
ll C(int n, int m)
{
if (n < m || m < 0) return 0;
return fac[n] * invfac[m] % mod*invfac[n - m] % mod;
}
}
vector<pair<int,int>> fac[MAXN];
int x, y;
void slove() {
cin >> x >> y;
ll ans = 1;
for (auto p : fac[x]) {
int n = p.second, m = y;
ans *= CNM::C(n + m - 1,m - 1);
ans %= mod;
}
ans *= ksm(2, y - 1, mod);
ans %= mod;
cout << ans << endl;
}
signed main() {
CNM::init();
for (int i = 2; i < MAXN; i++) {
if (fac[i].size())continue;
for (int j = i; j < MAXN; j += i) {
int t = j, cnt = 0;
while (t%i == 0)t /= i, cnt++;
fac[j].push_back({ i,cnt });
}
}
IOS;
int T; cin >> T;
while(T--)slove();
}
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/14599
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define int long long
const int N = 1e6+10;
const int MOD = 1000000007;
using namespace std;
long long bin[N];
void Init()
{
bin[0]=1;
bin[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++)
bin[i]=i*bin[i-1]%MOD;
}
long long POW(long long a,long long b)
{
long long res=1;
while(b)
{
if(b&1)
{
res*=a, res%=MOD;
}
b>>=1;
a*=a, a%=MOD;
}
return res;
}
long long C(long long n, long long m)//求C(n,m) n在下，m在上。注意在这之前加init函数
{
return (bin[n]%MOD)*(POW(bin[m]*bin[n-m]%MOD,MOD-2))%MOD;
}
char str[N];
int n, m;
void Solve()
{
int ans = 0;
for (int i=1; i<=m-n+1; i++)
{
ans += C(m-i,n-1) * POW(25, m-i-n+1) % MOD * POW(26, i-1) % MOD, ans%=MOD;
}
printf("%lld\n",ans);
}
signed main()
{
Init();
scanf("%s",str+1);
n = strlen(str+1);
scanf("%lld",&m);
Solve();
return 0;
}
牛客33187K多校 - Link with Bracket Sequence I
dp[0][0][0] = 1;
for (int i=1; i<=m; i++)
{
for (int j=0; j<=i; j++)
{
//从你决定开始匹配S第一个字符之前，放什么都行（只要左括号数量>=右括号）
dp[i][0][j] += (j-1<0?0:dp[i-1][0][j-1]) + dp[i-1][0][j+1], dp[i][0][j]%=MOD;
}
}
for (int i=1; i<=m; i++)
{
for (int j=1; j<=min(m, n); j++)
{
for (int k=0; k<=i; k++)
{
int d = -1 + 2*(str[j]=='(');//左括号为1，右括号为-1
//对于T的第 i 个字符，有两种情况：
//一种是第i个字符匹配上原串的第j个字符，有1种放法
//一种是第i个字符在前i-1个已经匹配上原串的第j个字符的情况下，有1种放法。
if(k-d>=0) dp[i][j][k] += dp[i-1][j-1][k-d];
if(k+d<=m) dp[i][j][k] += dp[i-1][j][k+d];
dp[i][j][k] %= MOD;
}
}
}
printf("%lld\n",dp[m][n][0]);
