浅谈整除分块(复习)

复习整除分块

经典例子：

求Σ(n/i)，n<=1e14,()为向下取整

考虑直接暴力肯定不行，但发现其中有很多数是一样的

引进整除分块：

右端点为n/(n/l)：表示n/l的值n中有多少个

左端点为上一个r+1

复杂度为根号n

code：

inline void init (int ans=0) {
    for(int l=1,r,len;l<=n;l=r+1) {
        r=n/(n/l),len=r-l+1;
        ans+=len*(n/l);
    }
}

当然整除分块不仅仅只能处理这种形式

它是一种思想，一种美妙的剪枝

应用：

例题一：

https://www.luogu.org/problem/P3935

给定两个数L,R(L<=R<=1e9),求[L,R]中每个元素的约数个数和

分析：

首先很明显一个前缀和，剩下的问题成了求[1,X]中每个元素的约数个数和

暴力不行，就只有分别考虑每个约数出现的次数了

考虑[1,X]中以i为倍数的有X/i个

所以答案就成了Σn/i

code by wzxbeliever：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define il inline
#define ri register int
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
const int mod=998244353; 
ll l,r;
il ll solve(ll x){
	ll ans=0;
	for(register ll i=1,j;i<=x;i=j+1){
		j=x/(x/i);
		ans+=(j-i+1)*(x/i)%mod;
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&l,&r);
	printf("%lld\n",(solve(r)-solve(l-1)+mod)%mod);
	return 0;
}

插入一个复习块(和本题无关)：

例题二：

https://www.luogu.org/problem/P2261

分析：

code：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
    ll n,k;
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ll ans=n*k;
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        if(k/l) r=min(k/(k/l),n); 
        else r=n;
        ans-=(k/l)*(r-l+1)*(l+r)/2;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

由上题分析，不仅可以维护Σn/i，还可以维护iΣn/i，还可以维护iiΣn/i，还可以维护前缀和已知的数组a[i]组成的Σa[i]*n/i

例题三：

分析：

分别算出(Nmodi)和(Mmodj)

再将两者相乘

即为答案

例题四：

吐槽：

心路历程：1.考虑每段的贡献，但是要处理每个K，不现实

​ 2.考虑先不看节点，再找到一些规律，做一些变换得答案，但是貌似没啥规律结论

分析：

同样发现有很多的K的值不同，但得出的答案是一样的

考虑整除分块

将询问离线成三个点的询问，每个询问都是形如求f(u,1,w)的值。

考虑每条边的贡献，整除分块后每次相当于将子树内每个点的f(u,1,l)~f(u,1,r)都加上一个值。

于是我们最后再 dfs 一遍，经过一条边的时候，将这条边的边权整除分块，并在树状数组的对应区间上 修改，退出的时候再将该边的影响去除。遍历到某个点查询的时候，直接查询树状数组某个点的值即 可

code by std：

#include <bits/stdc++.h>

template <class T>
inline void read(T &x)
{
	static char ch; 
	while (!isdigit(ch = getchar())); 
	x = ch - '0'; 
	while (isdigit(ch = getchar()))
		x = x * 10 + ch - '0'; 
}

template <class T>
inline void putint(T x)
{
	static char buf[25], *tail = buf; 
	if (!x)
		putchar('0'); 
	else
	{
		for (; x; x /= 10) *++tail = x % 10 + '0'; 
		for (; tail != buf; --tail) putchar(*tail); 
	}
}

typedef long long s64; 

const int MaxNV = 1e5 + 5; 
const int MaxNE = MaxNV << 1; 

const int MaxLog = 18; 

struct request
{
	int d, opt, pos; 
	request(){}
	request(int y, int z, int p):
		d(y), opt(z), pos(p) {}
}; 

int n, m = 30000, Q; 
s64 bit[MaxNV], ans[MaxNV]; 

std::vector<int> add[MaxNV]; 
std::vector<request> req[MaxNV]; 

int ect, adj[MaxNV]; 
int to[MaxNE], e_w[MaxNE], nxt[MaxNE]; 

int dep[MaxNV]; 
int anc[MaxNV][MaxLog + 1]; 

#define trav(u) for (int e = adj[u], v, w; v = to[e], w = e_w[e], e; e = nxt[e])

inline void addEdge(int u, int v, int w)
{
	nxt[++ect] = adj[u]; 
	adj[u] = ect; 
	e_w[ect] = w; 
	to[ect] = v; 
}

inline void bit_modify(int x, int del)
{
	for (; x <= m; x += x & -x)
		bit[x] += del; 
}

inline s64 bit_query(int x)
{
	s64 res = 0; 
	for (; x; x ^= x & -x)
		res += bit[x]; 
	return res; 
}

inline int query_lca(int u, int v)
{
	if (dep[u] < dep[v])
		std::swap(u, v); 
	for (int i = 0, d = dep[u] - dep[v]; d; d >>= 1, ++i)
		if (d & 1)
			u = anc[u][i]; 
	if (u == v)
		return u; 

	for (int i = MaxLog; i >= 0; --i)
		if (anc[u][i] != anc[v][i])
		{
			u = anc[u][i]; 
			v = anc[v][i]; 
		}
	return anc[u][0]; 
}

inline void dfs_init(int u)
{
	for (int i = 0; anc[u][i]; ++i)
		anc[u][i + 1] = anc[anc[u][i]][i]; 
	trav(u) if (v != anc[u][0])
	{
		anc[v][0] = u; 
		dep[v] = dep[u] + 1; 
		dfs_init(v); 
	}
}

inline void modify(int x, int opt)
{
	int lst = 0, lst_del = 0; --x; 
	for (int cur = 1; cur <= x; cur = lst + 1)
	{				
		lst = x / (x / cur); 
		bit_modify(cur, +opt * (x / cur + 1) - lst_del); 
		lst_del = opt * (x / cur + 1); 
	}
	bit_modify(x + 1, opt - lst_del); 
}
inline void dfs_answer(int u)
{
	int cnt_req = req[u].size(); 
	for (int j = 0; j < cnt_req; ++j)
	{
		int d = req[u][j].d, opt = req[u][j].opt; 
		ans[req[u][j].pos] += bit_query(d) * opt; 
	}

	trav(u) if (v != anc[u][0])
	{
		modify(w, +1); 
		dfs_answer(v); 
		modify(w, -1); 
	}
}


int main()
{
	freopen("delivery.in", "r", stdin); 
	freopen("delivery.out", "w", stdout); 
	read(n), read(Q); 
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		int u, v, w; 
		read(u), read(v), read(w); 
		addEdge(u, v, w), addEdge(v, u, w); 
    }
	dfs_init(1); 
	for (int i = 1; i <= Q; ++i)
	{
		int u, v, w, z; 
		read(u), read(v), read(w); 
		z = query_lca(u, v); 
		ans[i] = 1; 
		req[u].push_back(request(w, +1, i)); 
		req[v].push_back(request(w, +1, i)); 
		req[z].push_back(request(w, -2, i)); 
	}
	dfs_answer(1); 
	for (int i = 1; i <= Q; ++i)
		putint(ans[i]), putchar('\n'); 

	return 0; 
}

其实也可以平衡规划

这一个阙值K，小于k的暴力预处理，大于k的主席树

code by hs：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100010
#define maxm 210
template<typename T>T read()
{
	T res=0;
	int sym=1;
	char cc=getchar();
	while(!isdigit(cc)&&cc!='-')
		cc=getchar();
	if(cc=='-')sym=-1,cc=getchar();
	while(!isdigit(cc))cc=getchar();
	while(isdigit(cc))res=res*10+cc-'0',cc=getchar();
	return sym*res;
}
template<typename T>void read(T &o)
{
	o=read<T>();
}
template<typename A,typename... B>void read(A& o,B&... Others)
{
	o=read<A>();
	read(Others...);
}
struct Edge
{
	int v;
	int w;
	Edge *next;
	Edge(int a=0,int b=0,Edge *c=NULL)
	{
		v=a;
		w=b;
		next=c;
	}
}*head[maxn];
struct Node
{
	int v;
	int l;
	int r;
}node[maxn*50];
int n,m,mx,cnt,T[maxn],dep[maxn],vis[maxm],fa[maxn][19];
long long tot[maxm][maxn];
void insert(int &a,int b,int l,int r,int x)
{
	a=++cnt;
	node[a]=node[b];
	node[a].v+=1;
	if(l==r)return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)insert(node[a].l,node[b].l,l,mid,x);
	else insert(node[a].r,node[b].r,mid+1,r,x);
}
int query(int a,int b,int c,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l>=x&&r<=y)
		return node[a].v+node[b].v-2*node[c].v;
	int mid=(l+r)>>1,ans=0;
	if(x<=mid)
		ans+=query(node[a].l,node[b].l,node[c].l,l,mid,x,y);
	if(y>mid)
		ans+=query(node[a].r,node[b].r,node[c].r,mid+1,r,x,y);
	return ans;
}
void dfs(int k)
{
	dep[k]=dep[fa[k][0]]+1;
	for(int i=1;i<=18;i++)
		fa[k][i]=fa[fa[k][i-1]][i-1];
	for(Edge *i=head[k];i!=NULL;i=i->next)
	{
		if(i->v==fa[k][0])
			continue;
		fa[i->v][0]=k;
		insert(T[i->v],T[k],1,mx,i->w);
		dfs(i->v);
	}
}
void dfs2(int k,int t)
{
	for(Edge *i=head[k];i!=NULL;i=i->next)
	{
		if(i->v==fa[k][0])
			continue;
		tot[t][i->v]=tot[t][k]+(i->w-1)/t;
		dfs2(i->v,t);
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x]<dep[y])
		swap(x,y);
	int d=dep[x]-dep[y];
	for(int i=0;i<=18;i++)
		if(d&(1<<i))
			x=fa[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(int i=18;i>=0;i--)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i])
			x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
int main()
{
	freopen("delivery.in","r",stdin);
	freopen("delivery.out","w",stdout);
	read(n,m);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y,z;
		read(x,y,z);
		mx=max(mx,z);
		head[x]=new Edge(y,z,head[x]);
		head[y]=new Edge(x,z,head[y]);
	}
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y,z;
		read(x,y,z);
		if(x==y)
		{
			puts("1");
			continue;
		}
		int l=lca(x,y);
		if(z<=200)
		{
			if(!vis[z])
			{
				dfs2(1,z);
				vis[z]=true;
			}
			printf("%lld\n",dep[x]+dep[y]-dep[l]-dep[fa[l][0]]+
			tot[z][x]+tot[z][y]-tot[z][l]*2);
			continue;
		}
		int ans=0;
		for(int j=2;(j-1)*z+1<=mx;j++)
		{
			ans+=(j-1)*
			query(T[x],T[y],T[l],1,mx,(j-1)*z+1,min(mx,j*z));
		}
		printf("%d\n",ans+dep[x]+dep[y]-dep[l]-dep[fa[l][0]]);
	}
	return 0;
}