[NOI1995]石子合并

题目

Description

在一个圆形操场的四周摆放 N 堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出一个算法,计算出将 N 堆石子合并成 1 堆的最小得分和最大得分。

Input

数据的第 1 行是正整数 N，表示有 NN 堆石子。

第 2 行有 N 个整数，第 i 个整数 a_i 表示第 i 堆石子的个数。

Output

输出共 2 行，第 1 行为最小得分，第 2 行为最大得分。

Sample Input

4
4 5 9 4

Sample Output

43
54

---

思路

有一道很类似的题:

最小代价树

 

首先这是一道经典的dp题；

那么d[i][j]表示i-j的最小代价，sum[i][j]是i-j每个石头的代价；

答案就是dp[1][n]了;

那么每一次合并i-j就需要加上i-j的权值代价；

dp[1][3]=min(dp[1][1]+dp[2][3]+sum[1][3],dp[1][2]+dp[3][3]+sum[1][3]);

所以我们需要枚举断开的位置k，i-j的合并就是i-k的合并加上k+1-j的合并再加上代价；

所以转移方程就是：

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);

（sum是前缀和；）

 

然后枚举len长度，i起点，k断开的位置；

为什么不是先枚举i起点，在枚举j终点呢？

for(ll i=1;i<=n;i++)

for(ll j=i+1;j<=n;j++）

for(ll k=i;k<j;k++）

假如求出dp[1][2],然后枚举到dp[1][3]=dp[1][1]+dp[2][3] ；

然鹅dp[2][3]还未求出，所以我们需要枚举区间长度；

从区间长度小枚举到区间长度大，这样算长度大的区间时，访问小区间，小区间就有答案；

所以要枚举len长度，i起点，k断开的位置；

 

那么求最大值则反之；

 

代码

 

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}
ll n;
ll dp[2001][2001],f[2001][2001];
ll a[2001],s[2001];
int main()
{
    n=read();
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=read();
        a[i+n]=a[i];//破环成列 
    }
    for(ll i=1;i<=n*2;i++)//计算前缀
        s[i]=s[i-1]+a[i];
    for(ll len=2;len<=2*n;len++)//枚举区间长度，len=1没什么意义额
    for(ll i=1;i<=2*n-len+1;i++)
    {
        ll j=i+len-1;
        for(ll k=i;k<j;k++)
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);//转移方程
        f[i][j]=1<<30;//因为答案是求最小值，但是数组一开始都为0，答案也会为0，所以我们需要统计时改为最大值
        for(ll k=i;k<j;k++)
            f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);//转移方程
    }
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++)//因为是环所以要枚举每个n长度的区间 
        ans=max(ans,dp[i][i+n-1]);
    ll answer=1<<30;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        answer=min(answer,f[i][i+n-1]);
    printf("%lld\n%lld\n",answer,ans);
}