树状数组的基本操作

树状数组的基本操作

基本操作1：

求比a小在a前面数数量和比a小在a后面数数量：

在看之前，你必须了解树状数组的基本函数；

 

inline ll lowbit(ll x)
{
    return x&(-x);
}
inline void insert(ll x,ll y)//加入 
{
    while(x<=n)
    {
        sum[x]+=y;
        x+=lowbit(x);
    }
}
inline ll findout(ll x)//查找 
{
    ll ans=0;
    while(x)
    {
        ans+=sum[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

 

 

求有多少在a前面的数比a小

首先，假如求有多少在a前面的数比a小；

举例：                  1 4 2 3 5

然后有5个空位置, _ _ _ _ _ 为sum[5]

第一步     求出sum[1]前缀，答案是0；

                插入1,  1 _ _ _ _

第二步     求出sum[4]前缀，答案是1；

                插入4,  1 _ _ 4 _

第二步     求出sum[2]前缀，答案是1；

                插入4,  1 2 _ 4 _

..........................

这样不断进行下去sum[i]就是 有多少在i前面的数比a小；

所以就转化成了求前缀和的题目了，自然就想到树状数组了；

但是输入的几个数可能会非常大；

我们只需知道每个数的大小关系，并不需要知道具体值，所以在处理之前可以离散化；

    //离散化 
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].v=read();
        a[i].num=i;//将每一个数的位置记下 
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);//从小到大排序，
                        //这样每个数都有顺序了，并且每个数对应的位置没有改变 
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        b[a[i].num]=i;//把第i小的数位置上赋值为i 

具体怎么实现，读者自行手动模拟；

按上面查找的思路

    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        ll x=findout(b[i]);
        ans[i]=x;//先求值，再插入，不然会把自己也算进去的 
        insert(b[i],1);
    }

那么求比a小在a后面数数量

则反之

    for(ll i=n;i>=1;i--)
    {
        ll x=findout(b[i]);
        ans[i]=x;//反之 
        insert(b[i],1);
    }

这样就ok了

 

基本操作2：

求1-x的最大值

那么求1-x的最大值，就需要在findout函数中改一改就好了；

我们从基本操作1中代码可以看到;

ans+=sum[x];

是将每个sum[x]的权值相加（具体自己看上面，这里不细讲）；

求1-x的最大值，只需将代码改成：

ans=max(ans,sum[x]);

insert函数中就需把 sum[x]+=y;改成 sum[x]=max(sum[x],y);(这个比较容易理解吧）

那么代码就是：

inline ll lowbit(ll x)
{
    return x&(-x);
}
inline void insert(ll x,ll y)//加入 
{
    while(x<=mx)
    {
        sum[x]=max(sum[x],y);//
        x+=lowbit(x);
    }
}
inline ll findout(ll x)//查找 
{
    ll ans=0;
    while(x)
    {
        ans=max(ans,sum[x]);//
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}