高等数学——无穷级数期末复习

高等数学B——无穷级数

常见级数的敛散性

等比级数

形如 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a{q}^n$的无穷级数，其中$q$为等比数列公比，其敛散性与$q$有关:

若$q⩾1$ 则等比级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a{q}^n$是发散的
若$q<1$ 则等比级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a{q}^n$是收敛的

p级数与调和级数

形如 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\frac{1}{n^p}$ 的级数叫做$p$级数其中,当$p=1$时$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\frac{1}{n}$被称作调和级数。$p$级数的敛散性$p$有关:

$p<1$时,调和级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\frac{1}{n^p}$收敛
$p⩾1$时,调和级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\frac{1}{n^p}$收敛

级数的性质

1. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}k{a}_n=k\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$,k是常数;
2. 若$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$与$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 均收敛则有

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n\pm \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n\pm u_n;$$

3. 如果级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$收敛则必有$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$$
   反之若$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ne 0$,可以推出级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$不收敛
4. 若级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$收敛，则删去，增加或者改变级数中的有限项不改变其收敛性。

级数的审敛法

(正项级数) 比较审敛法

对于级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$与$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$:

若 $u_n⩾v_n$且级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛 $\Rightarrow$ 级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$收敛;
若 $u_n⩽v_n$且级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$发散 $\Rightarrow$ 级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$发散;
简记为大的（强级数）收敛，小的（弱级数）也收敛，小的发散，大的也发散。但是他们的逆命题都是不成立的。

(正项级数) 极限形式的比较审敛法——$p$级数与调和级数的应用

令$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=l$， $u_n$，$v_n$是两个正项级数的第n项。有如下判别方式：

1. $0<l<\mathrm{\infty }\Rightarrow$ 级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$与级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$收敛性相同;
2. $l=\mathrm{\infty }\Rightarrow$ 级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n⩾$级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$此时参照比较审敛法;
3. $l=0\Rightarrow$ 级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n⩽$级$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$此时参照比较审敛法;

在运用极限形式的比较审敛法的时候，我们需要找到一个参照的级数，一般选取$p$级数或等比级数与待审敛级数进行极限形式的比较;(这里可能要用到等价无穷小，推荐复习一下常见的等价无穷小)

(正项级数) 比值审敛法——$a_n$带阶乘和幂指函数的级数适用

设 $u_n>0$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho :$

(1). 若$\rho <1\Rightarrow$级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛
(2). 若$\rho >1\Rightarrow$级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$发散
(3). 若$\rho =1$，无法判断级数敛散性（失效了）。
此方法用于审敛例如$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{{10}^n}$、$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{n^n}$等级数。

(交错级数)交错级数审敛法——莱布尼兹定理

用于解决交错级数$$u_1-u_2+u_3-u_4\cdots$$的敛散性。
若交错级数满足

(1). $u_n⩾u_{n+1}$(通项递减)
(2). $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$
则交错级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛

绝对收敛与条件收敛

函数项级数、和函数与幂级数

函数项级数的收敛半径、收敛域、幂级数的收敛区间