python 动态规划：背包问题
代码更新版：
# 商品列表。w：重量；v：价值
tr = [{'w':1,'v':1500},{'w':4,'v':3000},{'w':3,'v':2000}]
max_w = 4 # 背包容量
# 生成一个二维数组dp[i][j]，i代表几个物品，j代表容量。dp[i][j]代表在背包容量为j，偷盗物品为i个时的最大价值。
dp = [[0]*(max_w+1) for i in tr]
for j in range(1,max_w+1): # 先随便偷一个物品，放到各种规格的背包容器内，作为后来物品的参照。
if tr[0]['w'] <= j: # 当物品能放进当前规格，当前规格的价值就是物品的价值喽
dp[0][j] = tr[0]['v']
for i in range(1,len(tr)): # 对之后的物品尝试
for j in range(1,max_w+1):
if tr[i]['w'] > j: # 如果放不下当前物品，背包能放的价值，就是之前存放组合规格下的价值。
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else: # 能放下，当前规格的价值=max(当前物品的价值+剩余空间的价值,之前物品组合同等规格的价值)
dp[i][j] = max( dp[i-1][j],tr[i]['v']+dp[i-1][j-tr[i]['w']] )
print(dp)
示例：
# g1{w:1,v:3},g2{w:3,v:5},g3{w:4,v:7}
# w1 w2 w3 w4 背包的四种规格：1，2，3，4
# g1 3 3 3 3 此行只有g1物品可供选择，所以每个背包最大价值就是g1的3
# g2 3 3 5 8 此处有g1-g2可供选择，w1-w2时无法放入g2，所以还是g1的3；w3时可以放入g2，g2:5>g1:3 选5；w4时能放入5，但是剩余空间1，而剩余的1，又能放入价值3的g1，价值5+3=8 > g1的3，故8：g1+g2
# g3 3 3 5 8 有g1-g3可供选择，w4时能放入并刚好占满空间，所以如果放g3，最大价值为7，但是7<8，故不拿g3，选择之前的8的组合
代码实现：
goods = {'吉他':{'wei':1,'val':1500} ,'音响':{'wei':4,'val':3000},'电脑':{'wei':3,'val':2000}}
def bag(goods,con):
# con: 背包容量, goods，商品
# 获取最轻的物品重量
min_con = con
for good in goods.values():
if good['wei'] <= min_con:
min_con = good['wei']
# 以最轻物品的重量为单位，生成各种规格的背包
b = {} # 各种大小的背包的集合
weigh_list = [] # 背包规格
weigh = min_con
while weigh < con:
b[weigh] = []
weigh_list.append(weigh)
weigh += min_con
if weigh >= con:
b[con] = []
weigh_list.append(con)
# print(b,weigh_list) # b = {1: [], 2: [], 3: [], 4: [], 5: []} ; weigh_list = [1, 2, 3, 4, 5]
used = []
for name in goods: # 遍历物品
row = len(used)
for weigh in weigh_list: # 遍历背包
print(b)
if goods[name]['wei'] <= weigh: # 如果当前物品能装进背包
if row == 0: # 如果当前物品是第一个装进背包的，能存放的价值就是当前物品的价值
print('物品:',name,'重量',goods[name]['wei'],'背包空间',weigh,'放进去了')
b[weigh].append(goods[name]['val'])
else: # 如果之前已经有物品尝试放进背包，就对比一下物品价格，要最值钱的
# 算出盛放当前物品后是否有剩余空间，以及剩余空间能存放的价值
remain_weigh = weigh - goods[name]['wei']
remain_val = 0
if remain_weigh > 0: # 放了当前物品，还有剩余空间
for num,w in enumerate(weigh_list):
if w > remain_weigh: # 找到一个刚好能放下的空间
remain_val = b[weigh_list[num-1]][row-1] # 找出这个空间能放的价值
break
print('物品:',name,'重量',goods[name]['wei'],'背包空间',weigh,'放进去了','剩余空间和价值',remain_weigh,remain_val)
# 如果整个空间的价值超过之前 同重量情况下能存放的最大价值，就更新一下这种规格背包的最大价值
if goods[name]['val']+remain_val > b[weigh][row-1]:
b[weigh].append(goods[name]['val']+remain_val)
else: # 否则这个空间的最大价值还是之前的价值
b[weigh].append(b[weigh][row-1])
else: # 背包装不下当前物品,沿用上一个物品的价值
print('物品:',name,'重量',goods[name]['wei'],'背包空间',weigh,'放不下')
b[weigh].append(b[weigh][row-1])
used.append(name) # 每将一个物品尝试完所有背包规格，就把这个物品放到尝试过的列表中
for value in b.values():
print(value)
bag(goods,4) # 4是背包大小
运行结果：
{1: [], 2: [], 3: [], 4: []}
物品: 吉他 重量 1 背包空间 1 放进去了
{1: [1500], 2: [], 3: [], 4: []}
物品: 吉他 重量 1 背包空间 2 放进去了
{1: [1500], 2: [1500], 3: [], 4: []}
物品: 吉他 重量 1 背包空间 3 放进去了
{1: [1500], 2: [1500], 3: [1500], 4: []}
物品: 吉他 重量 1 背包空间 4 放进去了
{1: [1500], 2: [1500], 3: [1500], 4: [1500]}
物品: 音响 重量 4 背包空间 1 放不下
{1: [1500, 1500], 2: [1500], 3: [1500], 4: [1500]}
物品: 音响 重量 4 背包空间 2 放不下
{1: [1500, 1500], 2: [1500, 1500], 3: [1500], 4: [1500]}
物品: 音响 重量 4 背包空间 3 放不下
{1: [1500, 1500], 2: [1500, 1500], 3: [1500, 1500], 4: [1500]}
物品: 音响 重量 4 背包空间 4 放进去了 剩余空间和价值 0 0
{1: [1500, 1500], 2: [1500, 1500], 3: [1500, 1500], 4: [1500, 3000]}
物品: 电脑 重量 3 背包空间 1 放不下
{1: [1500, 1500, 1500], 2: [1500, 1500], 3: [1500, 1500], 4: [1500, 3000]}
物品: 电脑 重量 3 背包空间 2 放不下
{1: [1500, 1500, 1500], 2: [1500, 1500, 1500], 3: [1500, 1500], 4: [1500, 3000]}
物品: 电脑 重量 3 背包空间 3 放进去了 剩余空间和价值 0 0
{1: [1500, 1500, 1500], 2: [1500, 1500, 1500], 3: [1500, 1500, 2000], 4: [1500, 3000]}
物品: 电脑 重量 3 背包空间 4 放进去了 剩余空间和价值 1 1500
[1500, 1500, 1500]
[1500, 1500, 1500]
[1500, 1500, 2000]
[1500, 3000, 3500]
分析：摘取自《算法图解》
假设你是个小偷，背着一个可装4磅东西的背包。你可盗窃的商品有如下3件。为了让盗窃的商品价值最高，你该选择哪些商品？
每个动态规划算法都从一个网格开始，背包问题的网格如下。
- 吉他行
后面将列出计算这个网格中单元格值的公式。我们先来一步一步做。首先来看第一行。
这是吉他行，意味着你将尝试将吉他装入背包。在每个单元格，都需要做一个简单的决定：偷不偷吉他？别忘了，你要找出一个价值最高的商品集合。
第一个单元格表示背包的容量为1磅。吉他的重量也是1磅，这意味着它能装入背包！因此这个单元格包含吉他，价值为1500美元。
下面来开始填充网格。
与这个单元格一样，每个单元格都将包含当前可装入背包的所有商品。
来看下一个单元格。这个单元格表示背包的容量为2磅，完全能够装下吉他！
这行的其他单元格也一样。别忘了，这是第一行，只有吉他可供你选择。换言之，你假装现在还没法盗窃其他两件商品。
此时你很可能心存疑惑：原来的问题说的是4磅的背包，我们为何要考虑容量为1磅、2磅等的背包呢？前面说过，动态规划从小问题着手，逐步解决大问题。这里解决的子问题将帮助你解决大问题。请接着往下读，稍后你就会明白的。
此时网格应类似于下面这样。
别忘了，你要做的是让背包中商品的价值最大。这行表示的是当前的最大价值 。它指出，如果你有一个容量4磅的背包，可在其中装入的商品的最大价值为1500美元。
你知道这不是最终的解。随着算法往下执行，你将逐步修改最大价值。
- 音响行
我们来填充下一行——音响行。你现在出于第二行，可偷的商品有吉他和音响。在每一行，可偷的商品都为当前行的商品以及之前各行的商品。因此，当前你还不能偷笔记本电脑，而只能偷音响和吉他。我们先来看第一个单元格，它表示容量为1磅的背包。在此之前，可装入1磅背包的商品的最大价值为1500美元。
该不该偷音响呢？
背包的容量为1磅，能装下音响吗？音响太重了，装不下！由于容量1磅的背包装不下音响，因此最大价值依然是1500美元。
接下来的两个单元格的情况与此相同。在这些单元格中，背包的容量分别为2磅和3磅，而以前的最大价值为1500美元。
由于这些背包装不下音响，因此最大价值保持不变。
背包容量为4磅呢？终于能够装下音响了！原来的最大价值为1500美元，但如果在背包中装入音响而不是吉他，价值将为3000美元！因此还是偷音响吧。
你更新了最大价值！如果背包的容量为4磅，就能装入价值至少3000美元的商品。在这个网格中，你逐步地更新最大价值。
- 笔记本电脑行
下面以同样的方式处理笔记本电脑。笔记本电脑重3磅，没法将其装入容量为1磅或2磅的背包，因此前两个单元格的最大价值还是1500美元。
对于容量为3磅的背包，原来的最大价值为1500美元，但现在你可选择盗窃价值2000美元的笔记本电脑而不是吉他，这样新的最大价值将为2000美元！
对于容量为4磅的背包，情况很有趣。这是非常重要的部分。当前的最大价值为3000美元，你可不偷音响，而偷笔记本电脑，但它只值2000美元。
价值没有原来高。但等一等，笔记本电脑的重量只有3磅，背包还有1磅的容量没用！
在1磅的容量中，可装入的商品的最大价值是多少呢？你之前计算过。
根据之前计算的最大价值可知，在1磅的容量中可装入吉他，价值1500美元。因此，你需要做如下比较。
你可能始终心存疑惑：为何计算小背包可装入的商品的最大价值呢？但愿你现在明白了其中的原因！余下了空间时，你可根据这些子问题的答案来确定余下的空间可装入哪些商品。笔记本电脑和吉他的总价值为3500美元，因此偷它们是更好的选择。
最终的网格类似于下面这样。
答案如下：将吉他和笔记本电脑装入背包时价值最高，为3500美元。
你可能认为，计算最后一个单元格的价值时，我使用了不同的公式。那是因为填充之前的单元格时，我故意避开了一些复杂的因素。其实，计算每个单元格的价值时，使用的公式都相同。这个公式如下。
你可以使用这个公式来计算每个单元格的价值，最终的网格将与前一个网格相同。现在你明白了为何要求解子问题吧？你可以合并两个子问题的解来得到更大问题的解。
