题解 P3960 [NOIP2017 提高组] 列队
思路
“向左看齐”和“向前看齐”这两条指令，相当于在序列中删除一个元素并维护行、列中的相对顺序。
由于此题是教练给出的平衡树习题，想到用平衡树来维护所谓的序列。
对每一行开一棵平衡树，删除 \((x,y)\) 相当于在第 \(x\) 行的平衡树中删除第 \(y\) 个元素。在删除之后，我们发现这一行已经“向左看齐”了。
那么怎么做到“向前看齐”呢？在“向左看齐”之后，缺人的位置一定在最后一列，也就是说，只有最后一列才会因“向前看齐”而改变。想到对最后一列另外开一棵平衡树。对于删除 \((x,y)\) 操作，在最后一列的这棵平衡树上删除第 \(x\) 个 元素，再把之前第 \(x\) 行删除的第 \(y\) 个元素加到这棵平衡树的末端。
实现
这里用 Splay 实现
对于每 \(i\) 行，建一棵平衡树标号为 \(i\)
对于第 \(m\) 列，建一棵平衡树标号为 \(0\)
对于每一次操作：
- 删除第 \(0\) 棵平衡树中第\(i\)个元素
- 删除第 \(i\) 棵平衡树中第\(j\)个元素
- 在第 \(0\) 棵平衡树末端插入在 2. 中删除的元素
这样做的原因：
- 在第 \(0\) 棵平衡树中删除元素，实现了“向前看齐”
- 在第 \(i\) 棵平衡树中删除元素，实现了“向左看齐”
- 在第 \(0\) 棵平衡树末插入元素，实现了“学生归队”
另外，如果对于每一个元素我们都建立了一个结点的话，会有大量多余的空间开销。因为有很多连在一起的元素自始至终都没有分开，我们将区间存在一个结点中，当用到这个区间中的一个结点时再考虑对区间拆分为两个结点。
CODE
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int gin(){
int s=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9'){
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
s=(s<<3)+(s<<1)+(c^48);
c=getchar();
}
return s*f;
}
const int N=3e6+5;
int n,m,q,a[N],tot;
int sz[N],ch[N][2],val[N][2],fa[N];
struct Splay{
int rt;
inline void push(int x){
sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+val[x][1]-val[x][0]+1;
}
inline bool wrt(int x){return x==ch[fa[x]][1];}
inline void rotate(int x){
int p=fa[x],g=fa[p],k=wrt(x),b=ch[x][k^1];
ch[p][k]=b,fa[b]=p;
ch[g][wrt(p)]=x,fa[x]=g;
ch[x][k^1]=p,fa[p]=x;
push(p),push(x);
}
inline void splay(int x,int tar=0){
while(fa[x]!=tar){
if(fa[fa[x]]!=tar)
wrt(x)==wrt(fa[x])?rotate(fa[x]):rotate(x);
rotate(x);
}
if(!tar) rt=x;
}
inline int kth(int k){
int x=rt;
while(1){
if(ch[x][0] && k<=sz[ch[x][0]]) x=ch[x][0];
else if(ch[x][1] && k>sz[x]-sz[ch[x][1]]) k-=sz[x]-sz[ch[x][1]],x=ch[x][1];
else {
k-=sz[ch[x][0]];
if(k!=1){
fa[ch[++tot][0]=ch[x][0]]=tot,fa[ch[x][0]=tot]=x;
val[tot][0]=val[x][0],val[tot][1]=val[x][0]+k-2,val[x][0]=val[tot][1]+1;
push(tot);
k=1;
}
if(k!=val[x][1]-val[x][0]+1){
fa[ch[++tot][1]=ch[x][1]]=tot,fa[ch[x][1]=tot]=x;
val[tot][1]=val[x][1],val[tot][0]=val[x][0]+k,val[x][1]=val[tot][0]-1;
push(tot);
}
return x;
}
}
}
inline int newNode(int l,int r){
int x=++tot;
ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=0;
val[x][0]=l,val[x][1]=r;
sz[x]=r-l+1;
return x;
}
inline int build(int l,int r){
if(l>r) return 0;
int mid=l+r>>1,x=newNode(a[mid],a[mid]);
if(l==r) return x;
if(ch[x][0]=build(l,mid-1)) fa[ch[x][0]]=x;
if(ch[x][1]=build(mid+1,r)) fa[ch[x][1]]=x;
push(x);
return x;
}
inline void join(int u,int v){
fa[u]=0,fa[v]=0;
int w=u;
while(ch[w][1]) w=ch[w][1];
splay(w);
ch[w][1]=v,fa[v]=w;
push(w);
}
inline int pop(int k){
int x=kth(k);
splay(x);
if(!ch[x][0] || !ch[x][1])
fa[rt=ch[x][0]|ch[x][1]]=0;
else join(ch[x][0],ch[x][1]);
return val[x][0];
}
inline void push_back(int v){
int x=newNode(v,v);
if(!rt) rt=x;
else {
int w=rt;
while(ch[w][1]) w=ch[w][1];
splay(w);
ch[w][1]=x,fa[x]=w;
push(w);
}
}
}s[N];
/*
对于每i行，建一棵平衡树标号为i
对于第m列，建一棵平衡树标号为0
对于每一次操作：
1. 删除第0棵平衡树中第i个元素
2. 删除第i棵平衡树中第j个元素
3. 在第0棵平衡树末端插入在2.中删除的元素
这样做的原因：
1. 在第0棵平衡树中删除元素，实现了“向前看齐”
2. 在第i棵平衡树中删除元素，实现了“向左看齐”
3. 在第0棵平衡树末插入元素，实现了“学生归队”
*/
signed main(){
// freopen("1.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
n=gin(),m=gin(),q=gin();
for(int i=1;i<=n;i++){
s[i].rt=s[i].newNode((i-1)*m+1,i*m-1);
a[i]=i*m;
}
s[0].rt=s[0].build(1,n);
while(q--){
int x=gin(),y=gin(),z;
s[x].push_back(s[0].pop(x));
printf("%lld\n",z=s[x].pop(y));
s[0].push_back(z);
}
return 0;
}
