部分 dp 做题记录

记录了一些可能有价值的 dp ，当然大部分都是当时小蒟蒻不会做的（

AGC046 C

给出一个 01 串 \(S\) ，每次可以选择一对二元组 \((i,j)\) 满足 \(i<j\) 且第 \(i\) 位为 \(0\) 第 \(j\) 位为 \(1\) ，然后将第 \(j\) 位的 \(1\) 移到第 \(i\) 位的前一位，求进行不多于 \(K\) 次操作得到的不同的字符串个数是多少。

\(|S|\le 300 , K\le 10^9\)

就当是开胃小菜吧（

每次都是把一个 \(1\) 移到 \(0\) 的前面，显然对于某个可得到的字符串可以在不超过 \(|S|\) 次操作得到，所以 \(K\) 可以和 \(n\) 取 \(min\) 。

根据操作，可以按照 \(0\) 将串分段，然后搞个 \(dp_{i,j,k}\) 分别记录前 \(i\) 段一共有 \(j\) 个 \(1\) 至少做了 \(k\) 次操作得到的不同字符串个数，转移枚举这一段有多少个 \(1\) ，可以用前缀和优化做到 \(\mathcal{O(n^3)}\) 。

AGC046 D

给出一个 01 串 \(S\) ，每次可以将最前面的两个字符拿出，删除一个，将另外一个插入字符串的任意一个地方，问能得到多少种不同的字符串。

\(|S|\le 300\) 。

ARC110 E

给出一串只包含 \(A,B,C\) 的字符串 \(S\) ，每次可以选择一个 \(i\) 满足 \(S_i\not=S_{i+1}\) ，然后将 \(S_i\) 变为与这两个字符都不同的另一个字符，删除 \(S_{i+1}\) ，问通过数次操作能得到多少种字符串。

\(|S|\le 10^6\) 。

主要是转化，可以将 $A,B,C$ 看作 $1,2,3$ ，那么一次操作就相当于将 $S_i,S_{i+1}$ 变为 $S_i\ xor\ S_{i+1}$ ，可以发现，如果一个区间的异或值不为 $0$ ，且包含不止一种数，那么就一定有方法将这段区间变为区间的异或值。

很显然有可以设 \(dp_i\) 为前 \(i\) 位可以搞出多少种字符串，暴力的转移是找到一个 \(j\) 使得 \(S_{[j+1,i]}\) 满足上面的条件，然后求和，注意到这个条件主要和异或和有关，那么可以在转移时对于每种异或值维护所有满足的 \(j\) 的 \(dp_j\) 的和，而异或值只有 \(3\) 种，至于第二个条件随便搞搞就行。

AGC051 D

给出 \(a,b,c,d\) ，分别代表对应边的经过次数，问从 \(S\) 出发回到 \(S\) 且满足每条边的经过次数的路径有多少条。

\(n\le 50\ 000\) 。

bzoj3864

给一个长度为 \(m\) 的字符串 \(T\) ，对于每个 \(i\) ，求出有多少个长度为 \(n\) 的字符串 \(S\) ，满足 \(LCS(S,T) = i\) ，模 \(10^9+7\) 。 \(LCS\) 指最长公共子序列。

\(n \le 1000, m \le 15\)，字符集大小为 \(4\) 。

经典的 dp 套 dp 。

假如已知字符串 \(S\) ，求 \(LCS(S,T)\) ，有 \(dp_{i,j}\) 代表 \(S\) 的前 \(i\) 位和 \(T\) 的前 \(j\) 位的 \(LCS\) ，显然有 \(dp_{i,j+1}\le dp_{i,j}+1\) ，那就意味着 \(dp_{i}\) 的差分数组是一个 01 串，可以试着状态压缩。