肯德基 解题报告

KFC = KeFunction Counting

\(T\) 次询问，每次求 \(\sum\limits_{x=1}^n μ(x)^2x\) 。

\(T\le 100 , n\le 10^{14}\) 。

这题爆 \(long\ long\) 差评（

我对容斥不太熟悉，感觉像是要容斥但是不知道怎么推式子（

先看到 \(\mu(x)^2\) ，可以发现只有当 \(x\) 的因数中存在完全平方数 \(y^2\) 时不会对答案有贡献，然后就可以考虑枚举 \(y\) ，再进行容斥来计算。

可以发现容斥系数就是 \(\mu(y)\) （？） ，然后就有

\[\sum\limits_{x=1}^n μ(x)^2x=\sum\limits_{y=1}^{\sqrt{n}} \mu(y)y^2⌊\frac{n}{y^2}⌋⌊\frac{n}{y^2}+1⌋ \]

大力枚举就可以做到 \(\mathcal{O(T\sqrt{n})}\) ，利用整除分块可以做到 \(\mathcal{O(T\sqrt[3]{n})}\)

感觉这题挺好的，当然可能是我太菜了（

听别人说这种用 \(\mu(x)\) 当容斥的东西烂大街了（