[GXOI/GZOI2019]旧词 解题报告

对于一棵 \(n\) 个节点的树，给出 \(m\) 次询问和常数 \(k\) ，每次给出 \(r,x\) ，求 \(\sum\limits_{i=1}^r depth(LCA(i,x))^k\) 。

\(n,m\le 5\times 10^4 , 1\le r,x\le n , k\le 10^9\)

如果有做过[LNOI2014]LCA，就很容易想出解法。

可以通过树上差分，点 \(x\) 的权值为 \(depth(x)^k-(depth(x)-1)^k\) ，那么对于一个点的深度的 \(k\) 次方就等于该点到根的路径上的所有点的权值之和。

可以将询问离线，按照 \(r\) 排序，依次修改 \(1\) 到 \(n\) 的点到根的点权，每次修改就是将 \(x\) 点加上 \(depth(x)^k-(depth(x)-1)^k\) ，那么对于相应的 \(r\) ，查询 \(x\) 到根的路径上的所有点的权值之和就是答案了。

可以通过树剖+线段树解决，效率 \(\mathcal{O(n\log^2 n)}\) ，精细实现可以做到 \(\mathcal{O(n\log n)}\) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int M=5e5+5,JYY=998244353;

void swap(int &x,int &y){ x^=y^=x^=y; }
int min(int x,int y){ return x<y?x:y; }
int max(int x,int y){ return x>y?x:y; }

int n,q,K,mi[M],fa[M],de[M],Ans[M];
int read(){
	int x=0,y=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') y=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*y;
}

int tot=0,first[M];
struct Edge{
	int nxt,to;
}e[M<<1];
void add(int x,int y){
	e[++tot].nxt=first[x];
	first[x]=tot;
	e[tot].to=y;
}

int num=0,dfn[M],pre[M],son[M],top[M],size[M];
struct Tree{
	int sum,fz,lazy;
}tr[M<<2];
void pushup(int u){ tr[u].sum=(tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].sum)%JYY; }
void pushdown(int u){
	if(!tr[u].lazy) return ;
	(tr[u<<1].sum+=tr[u<<1].fz*tr[u].lazy%JYY)%=JYY;
	(tr[u<<1].lazy+=tr[u].lazy)%=JYY;
	(tr[u<<1|1].sum+=tr[u<<1|1].fz*tr[u].lazy%JYY)%=JYY;
	(tr[u<<1|1].lazy+=tr[u].lazy)%=JYY;
	tr[u].lazy=0;
}
void build(int u,int l,int r){
	tr[u].sum=tr[u].lazy=0;
	if(l==r) return (void)(tr[u].fz=(mi[de[pre[l]]]-mi[de[pre[l]]-1]+JYY)%JYY);
	int mid=(l+r)>>1;
	build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
	tr[u].fz=(tr[u<<1].fz+tr[u<<1|1].fz)%JYY;
}
void change(int u,int l,int r,int L,int R,int x){
	if(l>R||r<L) return ;
	if(l>=L&&r<=R) return (void)((tr[u].sum+=x*tr[u].fz)%=JYY,(tr[u].lazy+=x)%=JYY);
	pushdown(u);
	int mid=(l+r)>>1;
	change(u<<1,l,mid,L,R,x),change(u<<1|1,mid+1,r,L,R,x);
	return (void)(pushup(u));
}
int query(int u,int l,int r,int L,int R){
	if(l>R||r<L) return 0;
	if(l>=L&&r<=R) return tr[u].sum;
	pushdown(u);
	int mid=(l+r)>>1;
	return (query(u<<1,l,mid,L,R)+query(u<<1|1,mid+1,r,L,R))%JYY;
}

void dfs1(int u){
	de[u]=de[fa[u]]+1;size[u]=1;
	for(int i=first[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		dfs1(v);size[u]+=size[v];
		if(size[son[u]]<size[v]) son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int tp){
	dfn[u]=++num,pre[num]=u;top[u]=tp;
	if(son[u]) dfs2(son[u],tp);
	for(int i=first[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(v==son[u]) continue ;
		dfs2(v,v);
	}
}
void Change(int x,int d){
	while(top[x]!=1){
		change(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],d);
		x=fa[top[x]];
	}
	return (void)(change(1,1,n,dfn[1],dfn[x],d));
}
int Query(int x){
	int res=0;
	while(top[x]!=1){
		res=(res+query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]))%JYY;
		x=fa[top[x]];
	}
	return (res+query(1,1,n,dfn[1],dfn[x]))%JYY;
}

int qpow(int x,int y){
	int res=1;
	for(;y;x=x*x%JYY,y>>=1) if(y&1) res=res*x%JYY;
	return res;
}
struct Ques{ int r,x,id; }Q[M];
bool cmp(Ques x,Ques y){ return x.r<y.r; }
void solve(){
	n=read(),q=read(),K=read()%(JYY-1);mi[0]=0;mi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) fa[i]=read(),add(fa[i],i),mi[i]=qpow(i,K);
	dfs1(1);dfs2(1,1);build(1,1,n);
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",(mi[de[i]]-mi[de[i]-1]+JYY)%JYY);printf("\n");
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int r=read(),x=read();
		Q[i]=(Ques){r,x,i};
	}
	sort(Q+1,Q+q+1,cmp);
//	for(int i=1;i<=2*q;i++){
//		printf("%d %d %d %d\n",Q[i].x,Q[i].z,Q[i].z,Q[i].id);
//	}
	for(int i=1,now=0;i<=q;i++){
		while(now<Q[i].r) now++,Change(now,1);
		Ans[Q[i].id]=Query(Q[i].x);
	}
	for(int i=1;i<=q;i++) printf("%lld\n",Ans[i]);
}

signed main(){
	solve();
}