利用堆实现堆排序&优先队列
数据结构之（二叉）堆一文在末尾提到“利用堆能够实现：堆排序、优先队列。”。本文代码实现之。
1、堆排序
如果要实现非递减排序。则须要用要大顶堆。
此处设计到三个大顶堆的操作：（1）自顶向下调整操作：MaxHeapify（相应堆的SiftDown操作）、（2）利用数组建立大顶堆：BuildMaxHeap、（3）不断交换堆顶元素（堆的最大元素）和堆的末尾元素，实现非递减排序。
以下是详细的实现代码：
//已知L[i,...,n)除L[i]之外均满足大顶堆的定义,本函数向下调整L[i]
//使得在具有n个结点的堆中,以i为下标的根节点的子树又一次遵循最大堆的性质
//n为节点总数，从0開始计算。i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
void MaxHeapify(int L[], int i, int n)
{
int j, tmp;
j = 2 * i + 1; //父节点i的左孩子结点
tmp = L[i];
while (j < n)
{
if (j + 1 < n && L[j + 1] > L[j])//找左右孩子中最大的
j++;
if (L[j] <= tmp) // 父结点tmp=L[i]比孩子结点L[j]大
break;
L[i] = L[j]; //把较大的子结点往上移动,替换它的父结点
i = j;
j = 2 * i + 1;
}
L[i] = tmp;
}//子数组L[n/2+1,..,n)中的元素都是树的叶子结点,每一个叶节点都能够看成仅仅包括一个元素的堆。
//该函数对树中的其余结点都调用一次MaxHeapify()
void BuildMaxHeap(int L[], int n)
{
for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) //注意是从最后一个结点(n-1)的父节点((n-1)-1)/2 = (n-2)/2 = n/2-1 開始
MaxHeapify(L, i, n);
}void MaxHeapSort(int L[], int n)
{
BuildMaxHeap(L, n); //先建立大顶堆
for (int i = n - 1 ; i > 0; i--) //从最后一个元素起
{
//L[0]永远是大顶堆堆L[0,i]的堆顶元素,最大值
std::swap(L[0], L[i]);
//将L[0]和最末尾元素交换后：最大的元素如今位于数组末尾,堆的结点个数减一
//但L[0..i)由于改动了L[0]可能会破坏堆的性质,因此须要调整L[0,...,i)使之依旧满足最大堆：
//已知L[0,...,i)除L[0]之外均满足大顶堆的定义,本函数向下调整L[0]
//使得在具有i个结点的堆中,以0为下标的根节点的子树又一次遵循最大堆的性质
MaxHeapify(L, 0, i);
}
}
2、利用堆实现优先队列
优先队列分为最大优先队列和最小优先队列，分别借助于大顶堆和小顶堆。
优先队列有以下基本操作：（1）提取队列中的最大（小）元素；（2）提取队列中的最大（小）元素并从队列中删除；（3）将队列中元素为x的keyword降低（增大）到k，这里如果k的值不大（小）于x的原关键值。
其它的还包含如插入、删除操作。这些操作大多调用SiftDown、SiftUp操作实现。以下是详细实现代码：
（1）最大优先队列
#pragma once
#include "maxHeap.h"
template<class T>
class MaxPriQueue : public MaxHeap<T>
{
public:
MaxPriQueue(const int nmax = 20) : MaxHeap(nmax) {}
~MaxPriQueue(){}
T maximum() const; //返回具有最大键值的元素
T ExtractMax(); //去掉并返回最大键值的元素
void InCreaseKey(const T &x, const T &k); //将元素x的keyword添加到k,这里如果k的值不小于x的原关键值
virtual void Insert(const T &key);//算法导论第三版p92的方法;也能够调用继承来的Insert方法
};
template<class T>
T MaxPriQueue<T>::maximum()const
{
if (size > 0)
return arr[0];
return T(0);
}
template<class T>
T MaxPriQueue<T>::ExtractMax()
{
if (size < 0)
return T(0);
T max = arr[0];
arr[0] = arr[--size];//最末尾的值补上去,同一时候size减1
SiftDown(0); //向下调整
return max;
}
template<class T>
void MaxPriQueue<T>::InCreaseKey(const T &x, const T &k)
{
if (k < x) //如果k的值不小于x的原关键值
return;
int pos = Search(x);
if (pos == -1)
return;
arr[pos] = k;
SiftUp(pos); //向上调整
}
template<class T>
void MaxPriQueue<T>::Insert(const T &key)
{
arr[size++] = -INFINITY; //首先添加一个-∞的叶节点
InCreaseKey(-INFINITY, key); //将该叶节点的值增大至key
}
（2）最小优先队列
#pragma once
#include "minHeap.h"
template<class T>
class MinPriQueue : public MinHeap<T>
{
public:
MinPriQueue(const int nmax = 20) : MinHeap(nmax) {}
~MinPriQueue(){}
T minimum() const; //返回具有最小键值的元素
T ExtractMin(); //去掉并返回最小键值的元素
void DeCreaseKey(const T &x, const T &k); //将元素x的keyword降低到k,这里如果k的值不大于x的原关键值
virtual void Insert(const T &key);//算法导论第三版p92的方法;也能够调用继承来的Insert方法
};
template<class T>
T MinPriQueue<T>::minimum()const
{
if (size > 0)
return arr[0];
return T(0);
}
template<class T>
T MinPriQueue<T>::ExtractMin()
{
if (size < 0)
return T(0);
T min = arr[0];
arr[0] = arr[--size];//最末尾的值补上去,同一时候size减1
SiftDown(0); //向下调整
return min;
}
template<class T>
void MinPriQueue<T>::DeCreaseKey(const T &x, const T &k)
{
if (k >= x) //如果k的值不大于x的原关键值
return;
int pos = Search(x);
if (pos == -1)
return;
arr[pos] = k;
SiftUp(pos); //向上调整
}
template<class T>
void MinPriQueue<T>::Insert(const T &key)
{
arr[size++] = INFINITY; //首先添加一个∞的叶节点
DeCreaseKey(INFINITY, key); //将该叶节点的值降低至key
}
#include "max_priqueue.h"
#include "min_priqueue.h"
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a[12] = {15, 13, 9, 5, 12, 8, 7, 4, 0, 6, 2, 1};
int b[12]; memcpy(b, a, sizeof(a));
cout << "原始数组元素: ";
for (int i = 0; i < 12; i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
MaxPriQueue<int> maxpriqueue(20);
MinPriQueue<int> minpriqueue(20);
for (int i = 0; i < 12; i++)
maxpriqueue.Insert(a[i]); //向上调整
cout << "\n最大优先队列元素为: "; maxpriqueue.Print();
cout << "max = " << maxpriqueue.maximum() << endl;
cout << "删掉最大元素 " << maxpriqueue.ExtractMax() << "后 :" ; maxpriqueue.Print();
cout << "将元素 12 添加到 23 后："; maxpriqueue.InCreaseKey(12, 23);maxpriqueue.Print();
cout << "删掉元素4后： "; maxpriqueue.Delete(4); maxpriqueue.Print();
for (int i = 0; i < 12; i++)
minpriqueue.Insert(a[i]); //向上调整
cout << "\n最小优先队列元素为: "; minpriqueue.Print();
cout << "min = " << minpriqueue.minimum() << endl;
cout << "删掉最小元素 " << minpriqueue.ExtractMin() << "后 :" ; minpriqueue.Print();
cout << "将元素 12 减小到 3 后："; minpriqueue.DeCreaseKey(12, 23);minpriqueue.Print();
cout << "删掉元素4后： "; minpriqueue.Delete(4); maxpriqueue.Print();
getchar();
return 0;
}执行截图：
ps：代码中的继承的类的代码能够在 数据结构之（二叉）堆 中查看；
向量排序算法：不断将无序数组中的元素插入最小优先队列中，构建完成后。再调用n次ExtractMin()操作。也能够实现非递减排序，可是要花费O(n)的空间复杂度。（编程珠玑：p148）
3、STL中的堆（heap）
STL中与堆相关的4个函数——建立堆make_heap()、在堆中加入数据push_heap()、在堆中删除数据pop_heap()和堆排序sort_heap()。
头文件 #include <algorithm>
以下的_First与_Last为能够随机訪问的迭代器（指针），_Comp为比較函数（仿函数）。其规则——假设函数的第一个參数小于第二个參数应返回true，否则返回false。
（1）建立堆
make_heap(_First, _Last, _Comp)
默认是建立大顶堆的（less<T>()）。对int类型。能够在第三个參数传入greater<int>()得到最小堆。最小堆的时候的push_heap()、pop_heap()、sort_heap()均要显示地将greater<int>()作为第三个參数传入。
（2）在堆中加入数据
push_heap (_First, _Last)
要先在容器中加入数据：push_back(x)操作；再调用push_heap ()：将最末尾新加入的元素向上调整使之整个容器数组符合堆性质。
（3）在堆中删除数据
pop_heap(_First, _Last)
要先调用pop_heap()操作：将堆顶元素和堆的最末尾元素交换，堆大小减去1。并向下调整堆顶元素使得新的堆满足最大堆的性质；再在容器中删除数据：pop_back()操作。每次删除的是堆顶的元素
（4）堆排序
sort_heap(_First, _Last)
排序之后就不再是一个合法的heap了。
STL中heap使用演示样例代码：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <functional> //for function object like greater<int>()
#include <ctime>
using namespace std;
void print(vector<int> &vet)
{
for (vector<int>::const_iterator iter = vet.begin(); iter != vet.end(); iter++)
cout << *iter << " ";
cout << endl;
}
int main()
{
const int MAXN = 10;
int a[MAXN];
srand((unsigned)time(0));
for (int i = 0; i < MAXN; ++i)
a[i] = rand() % (MAXN * 2);
//动态申请vector，并对vector建堆
vector<int> *pvet = new vector<int>(20);
pvet->assign(a, a + MAXN);
cout << "\n无序数组:\t\t";print(*pvet);
//默认建大顶堆
make_heap(pvet->begin(), pvet->end());
cout << "大顶堆:\t\t\t";print(*pvet);
//加入数据
pvet->push_back(25); //先在容器中加入
cout << "\n容器push_back(25)后:\t";print(*pvet);
push_heap(pvet->begin(), pvet->end()); //再调用push_heap()
cout << "堆push_heap()操作后:\t";print(*pvet);
//删除数据
pop_heap(pvet->begin(), pvet->end()); // 先调用pop_heap()
cout << "\n堆pop_heap()操作后:\t";print(*pvet);
pvet->pop_back(); //再在容器中删除
cout << "容器pop_back()后:\t";print(*pvet);
pop_heap(pvet->begin(), pvet->end());
cout << "\n堆pop_heap()操作后:\t";print(*pvet);
pvet->pop_back();
cout << "容器pop_back()后:\t";print(*pvet);
//堆排序
sort_heap(pvet->begin(), pvet->end());
cout << "\n堆排序结果:\t\t";print(*pvet);
delete pvet;
return 0;
}
演示样例截图：
4、利用堆求解top_k
编写算法。从10亿个浮点数其中，选出其中最大的10000个。
//典型的Top K问题，用堆是最典型的思路。//建10000个数的小顶堆，然后将10亿个数依次读取，大于堆顶，则替换堆顶。做一次堆调整。 //结束之后，小顶堆中存放的数即为所求。
代码例如以下(为了方便，这里直接使用了STL容器)： void top_k() { const int nmax = 1000000000; //10亿个数 vector<float>bigs(10000, 0); //init vector array srand((unsigned)time(0)); for (vector<float>::iterator iter = bigs.begin(); iter != bigs.end(); iter++) *iter = (float)rand() / 7; //random values; //cout << bigs.size() << endl; make_heap(bigs.begin(), bigs.end(), greater<float>());//little heap, the first one is the smallest one! float f; for (int i = 0; i < nmax; i++) { srand((unsigned)time(0)); f = (float)rand() / 7; if (f > bigs.front())//replace the first element?
{ //set the smallest one to the end! pop_heap(bigs.begin(), bigs.end(), greater<float>()); //remove the smallest one bigs.pop_back(); //add to the last one bigs.push_back(f); //make the heap again, the first element is still the smallest one push_heap(bigs.begin(), bigs.end(), greater<float>()); } } //sort by ascent sort_heap(bigs.begin(), bigs.end(), greater<float>()); }
參考资料：数据结构p297-p283、算法导论第三版：p90-p92、编程珠玑：p145-p148
