BZOJ4518: [Sdoi2016]征途

Description

Pine开始了从S地到T地的征途。

从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。

Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。

Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。

帮助Pine求出最小方差是多少。

设方差是v，可以证明，v×m^2是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出v×m^2。

 

Input

第一行两个数 n、m。

第二行 n 个数，表示 n 段路的长度

 

Output

 一个数，最小方差乘以 m^2 后的值

 

Sample Input

5 2
1 2 5 8 6

Sample Output

36

HINT

 

1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000

 

方差：s^2=Σ(Ai-x)^2/m

全都乘一个m^2，然后就是斜率优化丝帛题，设f[i][j]表示前j天，现在到了第i段路的最小方差。

S[i]表示前缀和*m，x表示所有数之和。

f[i][j]=min{f[i`][j-1]+(S[i]-S[i`]-x)^2}

倒腾一下式子

f[i][j]=(S[i]-x)^2+ min{（f[i`][j-1]+S[i`]^2）-（2*S[i`]）*(S[i]-x)}

                                                y                       x               k

可以看成一条直线在y轴上截距，维护一个下凸壳即可。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=Getchar();
    for(;!isdigit(c);c=Getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=Getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int maxn=3010;
const ll inf=1ll<<60;
ll f[2][maxn],S[maxn];
int n,m,x,cur,Q[maxn];
double slop(int x,int y) {return (double)(f[cur^1][x]+S[x]*S[x]-f[cur^1][y]-S[y]*S[y])/(2*S[x]-2*S[y]);}
ll getdp(int k,int i) {return f[cur^1][k]+S[k]*S[k]-2*S[k]*(S[i]-x);}
int main() {
	n=read();m=read();
	rep(i,1,n) S[i]=S[i-1]+read()*m;
	x=S[n]/m;
	rep(i,1,n) f[0][i]=inf;
	rep(j,1,m) {
		cur^=1;int l=1,r=0;
		rep(i,j,n) {
			while(l<r&&slop(Q[r-1],Q[r])>=slop(Q[r],i-1)) r--;Q[++r]=i-1;
			while(l<r&&getdp(Q[l],i)>=getdp(Q[l+1],i)) l++;
			f[cur][i]=getdp(Q[l],i)+(S[i]-x)*(S[i]-x);
		}
	}
	printf("%lld\n",f[cur][n]/m);
	return 0;
}