BZOJ4402: Claris的剑

Description

Claris想要铸一把剑，这把剑必须符合他的审美，具体来说，我们可以把这把剑的不同地方的宽度看成一个序列，这个序列要满足以下条件：
1.每个元素都是正整数（你的宽度不可能是负数吧）
2.每个元素不能超过M，太宽了如果比Claris身高还高怎么办（你可以认为Claris的身高就是M）
3.相邻两个元素的差的绝对值必须是1（如果是0，则这个地方不是锯齿，杀伤力不够，如果太大，又太丑了）
4.第一个元素的值必须是1（剑尖必须是最窄的地方）
他想知道有多少把长度不超过N（即宽度的序列长度不超过N）的合法的本质不同的剑。
我们认为两把剑本质不同，当且仅当存在至少一个宽度，在两把剑的宽度序列里面出现次数不一样。
比如{1,2,3}和{1,3,2}是本质相同的
{1,2,3}和{1,2,1}则是本质不同的

Input

只有两个整数，表示N,M (数据保证$N,M \leq 2000000$)

Output

只有一个整数，表示答案对$10^9+7$取模的结果

Sample Input

5 3

Sample Output

9

HINT

 

样例解释



所有本质不同的合法的剑有如下：



{1}

{1,2}

{1,2,3}

{1,2,1}

{1,2,3,2}

{1,2,1,2}

{1,2,3,2,3}

{1,2,3,2,1}

{1,2,1,2,1}

 

Source

By lyzy

 

我们对序列建系，以位置为x，大小为y，则一把剑相当于一根折线，不难发现我们可以将任意一条直线拆成两种形态：

....x x-1 x x-1 ....... x x+1 x x+1......mx 

....x x-1 x x-1 ....... x x+1 x x+1......mx-1

我们枚举mx，因为1到mx的每个数都要取一次，那么对于第一种形态就有n-mx个点可以放锯齿，对于第而种形态就有n-mx-1个点可以放锯齿。

组合数计算一下即可。

 

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
const int maxn=2000010;
int xp[maxn],inv[maxn];
int C(int n,int m) {
	if(n<0) return 0;n>>=1;n+=m;
	return (ll)xp[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main() {
	int n=read(),m=read(),ans=0;
	xp[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	rep(i,1,n) xp[i]=(ll)xp[i-1]*i%mod;
	rep(i,2,n) inv[i]=(ll)inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
	rep(i,2,n) inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
	if(n&&m) ans++;
	rep(i,2,m) (ans+=(C(n-i,i-1)+C(n-i-1,i-1))%mod)%=mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}