BZOJ4176: Lucas的数论
Description
去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。
在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数。他现在长大了,题目也变难了。
求如下表达式的值:
![](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/201507/abc.jpg)
其中 表示ij的约数个数。
他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值。
Input
第一行一个整数n。
Output
一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值。
Sample Input
2
Sample Output
8
HINT
对于100%的数据n <= 10^9。
#include<cstdio> #include<cctype> #include<queue> #include<map> #include<cstring> #include<algorithm> #define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++) #define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--) #define ren for(int i=first[x];i;i=next[i]) using namespace std; const int BufferSize=1<<16; char buffer[BufferSize],*head,*tail; inline char Getchar() { if(head==tail) { int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin); tail=(head=buffer)+l; } return *head++; } inline int read() { int x=0,f=1;char c=getchar(); for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1; for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f; } typedef long long ll; const int SIZE=1000000; const int mod=1000000007; bool vis[SIZE+10]; int mu[SIZE+10],pri[SIZE/10],cnt; void init(int n) { vis[1]=mu[1]=1; rep(i,2,n) { if(!vis[i]) pri[++cnt]=i,mu[i]=-1; rep(j,1,cnt) { if(i*pri[j]>n) break; vis[i*pri[j]]=1; if(i%pri[j]==0) break; mu[i*pri[j]]=-mu[i]; } } rep(i,2,n) mu[i]+=mu[i-1]; } map<int,int> M; int getmu(int n) { if(n<=SIZE) return mu[n]; if(M.count(n)) return M[n]; int ans=1; rep(i,2,n) { int last=n/(n/i); ans=(ans-(ll)(last-i+1)*getmu(n/i)%mod+mod)%mod; i=last; } return M[n]=ans; } int getf(int n) { int ans=0; rep(i,1,n) { int last=n/(n/i); (ans+=(ll)(n/i)*(last-i+1)%mod)%=mod; i=last; } return (ll)ans*ans%mod; } int main() { int n=read();init(1000000); ll ans=0; rep(i,1,n) { int last=n/(n/i); (ans+=(ll)getf(n/i)*(getmu(last)-getmu(i-1)+mod))%=mod; i=last; } printf("%lld\n",ans); return 0; }