BZOJ3625: [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树

Description

我们的小朋友很喜欢计算机科学，而且尤其喜欢二叉树。
考虑一个含有n个互异正整数的序列c[1],c[2],...,c[n]。如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合{c[1],c[2],...,c[n]}中，我们的小朋友就会将其称作神犇的。并且他认为，一棵带点权的树的权值，是其所有顶点权值的总和。
给出一个整数m，你能对于任意的s(1<=s<=m)计算出权值为s的神犇二叉树的个数吗？请参照样例以更好的理解什么样的两棵二叉树会被视为不同的。
我们只需要知道答案关于998244353(7*17*2^23+1,一个质数)取模后的值。

Input

第一行有2个整数 n,m(1<=n<=10^5; 1<=m<=10^5)。
第二行有n个用空格隔开的互异的整数 c[1],c[2],...,c[n]（1<=c[i]<=10^5)。

Output

输出m行，每行有一个整数。第i行应当含有权值恰为i的神犇二叉树的总数。请输出答案关于998244353(=7*17*2^23+1,一个质数)取模后的结果。

Sample Input

样例一：
2 3
1 2
样例二：
3 10
9 4 3
样例三：
5 10
13 10 6 4 15

Sample Output

样例一：
1
3
9
样例二：
0
0
1
1
0
2
4
2
6
15
样例三：
0
0
0
1
0
1
0
2
0
5

HINT

 

对于第一个样例，有9个权值恰好为3的神犇二叉树：

 

这个星期努力学了学多项式和生成函数。

设F[x]表示和为x的二叉树的数量，则F[i]=∑C[j]*F[k]*F[i-j-k]

设F[x]的生成函数为F，C[x]的生成函数为C。

则F=F^2*C+1，然后套用求根公式得出F=2/(1+-sqrt(1-4C))，因为多项式可逆的条件是常数项可逆，所以F=2/(1+sqrt(1-4C))。

然后就是多项式求逆开平方了。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=Getchar();
    for(;!isdigit(c);c=Getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=Getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int p=998244353;
const int maxn=300010;
const int G=3;
const ll inv2=499122177;
ll pow(ll n,ll m) {
	ll ans=1;
	for(;m;m>>=1,(n*=n)%=p) if(m&1) (ans*=n)%=p;
	return ans;
}
int wn[20];
void NTT(int* A,int len,int t) {
	int j=len>>1,c=0;
	rep(i,1,len-2) {
		if(i<j) swap(A[i],A[j]);int k=len>>1;
		while(j>=k) j-=k,k>>=1;j+=k;
	}
	for(int i=2;i<=len;i<<=1) {
		c++;
		for(int j=0;j<len;j+=i) {
			int w=1;
			for(int k=j;k<j+(i>>1);k++) {
				int u=A[k],t=(ll)w*A[k+(i>>1)]%p;
				A[k]=(u+t)%p;A[k+(i>>1)]=(u-t+p)%p;
				w=((ll)w*wn[c])%p;
			}
		}
	}
	if(t<0) {
		int inv=pow(len,p-2);
		rep(i,1,len/2-1) swap(A[i],A[len-i]);
		rep(i,0,len-1) A[i]=((ll)A[i]*inv)%p;
	}
}
int T[maxn];
void getinv(int* A,int* B,int n) {
	if(n==1) {B[0]=pow(A[0],p-2);return;}
	getinv(A,B,n>>1);int len=n<<1;
	rep(i,0,n-1) T[i]=A[i],T[i+n]=0;
	NTT(B,len,1);NTT(T,len,1);
	rep(i,0,len-1) B[i]=(ll)B[i]*(2-(ll)B[i]*T[i]%p+p)%p;
	NTT(B,len,-1);rep(i,n,len-1) B[i]=0;
}
int revB[maxn];
void getsqrt(int* A,int* B,int n) {
	if(n==1) {B[0]=1;return;}
	getsqrt(A,B,n>>1);int len=n<<1;
	rep(i,0,n-1) revB[i]=0;
	getinv(B,revB,n);
	rep(i,0,n-1) T[i]=A[i],T[i+n]=0;
	NTT(B,len,1);NTT(T,len,1);NTT(revB,len,1);
	rep(i,0,len-1) B[i]=(ll)inv2*(B[i]+(ll)T[i]*revB[i]%p)%p;
	NTT(B,len,-1);rep(i,n,len-1) B[i]=0;
}
int A[maxn],B[maxn],ans[maxn];
int main() {
	rep(i,1,19) wn[i]=pow(G,(p-1)/(1<<i));
	int n=read(),m=read(),len=1;
	while(len<=m) len<<=1;
	A[0]=1;
	rep(i,0,n-1) {
		int x=read();
		if(x<=m) A[x]-=4;
		if(A[x]<0) A[x]+=p;
	}
	getsqrt(A,B,len);(++B[0])%=p;
	getinv(B,ans,len);
	rep(i,1,m) printf("%d\n",ans[i]*2%p);
	return 0;
}