BZOJ3925: [Zjoi2015]地震后的幻想乡

Description

 傲娇少女幽香是一个很萌很萌的妹子，而且她非常非常地有爱心，很喜欢为幻想乡的人们做一些自己力所能及的事情来帮助他们。 这不，幻想乡突然发生了地震，所有的道路都崩塌了。现在的首要任务是尽快让幻想乡的交通体系重新建立起来。幻想乡一共有n个地方，那么最快的方法当然是修复n-1条道路将这n个地方都连接起来。 幻想乡这n个地方本来是连通的，一共有m条边。现在这m条边由于地震的关系，全部都毁坏掉了。每条边都有一个修复它需要花费的时间，第i条边所需要的时间为ei。地震发生以后，由于幽香是一位人生经验丰富，见得多了的长者，她根据以前的经验，知道每次地震以后，每个ei会是一个0到1之间均匀分布的随机实数。并且所有ei都是完全独立的。 现在幽香要出发去帮忙修复道路了，她可以使用一个神奇的大魔法，能够选择需要的那n-1条边，同时开始修复，那么修复完成的时间就是这n-1条边的ei的最大值。当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边ei的值，然后再选择完成时间最小的方案。 幽香在走之前，她想知道修复完成的时间的期望是多少呢？ 

Input

第一行两个数n,m，表示地方的数量和边的数量。其中点从1到n标号。 

接下来m行，每行两个数a,b，表示点a和点b之间原来有一条边。 

这个图不会有重边和自环。 

Output

一行输出答案，四舍五入保留6位小数。 

Sample Input

5 4
1 2
1 5
4 3
5 3

Sample Output

0.800000

HINT

 

提示： 

（以下内容与题意无关，对于解题也不是必要的。） 

对于n个[0,1]之间的随机变量x1,x2,...,xn，第k小的那个的期望值是k/(n+1)。 

 

样例解释： 

对于第一个样例，由于只有4条边，幽香显然只能选择这4条，那么答案就是4条边的ei中最大的数的期望，由提示中的内容，可知答案为0.8。 

 

数据范围： 

对于所有数据：n<=10, m<=n(n-1)/2, n,m>=1。 

对于15%的数据：n<=3。 

另有15%的数据：n<=10, m=n。 

另有10%的数据：n<=10, m=n(n-1)/2。 

另有20%的数据：n<=5。 

另有20%的数据：n<=8。

 

陈老师好喜欢出这种图上计数问题啊。

设f[S][i]表示S集合中的点用i条边构成一个连通图的方案数，这个可以容斥一下再枚举包含最小元素的子集来DP计算。

根据期望的线性性，我们可以算出随机选前k小的那些边使图恰好连通的概率，则答案为概率之和除以(m+1)。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
    if(head==tail) {
        int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
        tail=(head=buffer)+l;
    }
    return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=Getchar();
    for(;!isdigit(c);c=Getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=Getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const int maxn=11;
const int maxm=50;
typedef long long ll;
ll f[1<<maxn][maxm],dp[maxm],C[maxm][maxm];
int n,m,e[maxn],g[1<<maxn],cnt[1<<maxn];
int main() {
    C[0][0]=1;
    rep(i,1,49) {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        rep(j,1,i-1) C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    }
    n=read();m=read();
    rep(i,1,m) {
        int u=read()-1,v=read()-1;
        e[u]|=(1<<v);e[v]|=(1<<u);
    }
    rep(S,0,(1<<n)-1) rep(i,0,n-1) if(S>>i&1) cnt[S]++;
    rep(S,0,(1<<n)-1) {
        rep(i,0,n-1) if(S>>i&1) g[S]+=cnt[S&e[i]];
        g[S]>>=1;
    }
    rep(S,1,(1<<n)-1) {
        int c;
        rep(i,0,n-1) if(S>>i&1) {c=i;break;}
        if(cnt[S]==1) f[S][0]=1;
        else for(int S2=(S-1)&S;S2;S2=(S2-1)&S) if(S2>>c&1) {
            rep(i,0,g[S2]) rep(j,0,g[S^S2]) dp[i+j]+=f[S2][i]*C[g[S^S2]][j];
        }
        rep(i,0,g[S]) f[S][i]=C[g[S]][i]-dp[i],dp[i]=0;
    }
    double ans=0.0;
    rep(i,0,m) ans+=(double)f[(1<<n)-1][i]/C[m][i];
    printf("%.6lf\n",(m+1-ans)/(m+1));
    return 0;
}