【NOI2015】荷马史诗

追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词，从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wi。Allison 想要用 k 进制串 si 来替换第 i 种单词，使得其满足如下要求:

对于任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的前缀。

现在 Allison 想要知道，如何选择 si，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的 si 的最短长度是多少？

一个字符串被称为 k 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间（包括 0 和 k−1）的整数。

字符串 Str1 被称为字符串 Str2 的前缀，当且仅当：存在 1≤t≤m，使得 Str1=Str2[1..t]。其中，m 是字符串 Str2 的长度，Str2[1..t] 表示 Str2 的前 t 个字符组成的字符串。

输入格式

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,k，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种单词，需要使用 k 进制字符串进行替换。

接下来 n 行，第 i+1 行包含 1 个非负整数 wi，表示第 i 种单词的出现次数。

输出格式

输出文件包括 2 行。

第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 si 的最短长度。

样例一

input

4 2
1
1
2
2

output

12
2

explanation

用 X(k) 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。

一种最优方案：令 00(2) 替换第 1 种单词，01(2) 替换第 2 种单词，10(2) 替换第 3 种单词，11(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×2+1×2+2×2+2×2=12

最长字符串 si 的长度为 2。

一种非最优方案：令 000(2) 替换第 1 种单词，001(2) 替换第 2 种单词，01(2) 替换第 3 种单词，1(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×3+1×3+2×2+2×1=12

最长字符串 si 的长度为 3。与最优方案相比，文章的长度相同，但是最长字符串的长度更长一些。

样例二

input

6 3
1
1
3
3
9
9

output

36
3

explanation

一种最优方案：令 000(3) 替换第 1 种单词，001(3) 替换第 2 种单词，01(3) 替换第 3 种单词，02(3) 替换第 4 种单词，1(3) 替换第 5 种单词，2(3) 替换第 6 种单词。

样例三

见样例数据下载。

限制与约定

测试点编号	n 的规模	k 的规模	备注	约定
1	n=3	k=2		0<wi≤1011
2	n=5	k=2
3	n=16	k=2	所有 wi 均相等
4	n=1000	k=2	wi 在取值范围内均匀随机
5	n=1000	k=2
6	n=100000	k=2
7	n=100000	k=2	所有 wi 均相等
8	n=100000	k=2
9	n=7	k=3
10	n=16	k=3	所有 wi 均相等
11	n=1001	k=3	所有 wi 均相等
12	n=99999	k=4	所有 wi 均相等
13	n=100000	k=4
14	n=100000	k=4
15	n=1000	k=5
16	n=100000	k=7	wi 在取值范围内均匀随机
17	n=100000	k=7
18	n=100000	k=8	wi 在取值范围内均匀随机
19	n=100000	k=9
20	n=100000	k=9

对于所有数据，保证 2≤n≤100000，2≤k≤9。

选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。

时间限制：1s

空间限制：512MB

评分方式

对于每个测试点：

若输出文件的第 1 行正确，得到该测试点 40% 的分数；

若输出文件完全正确，得到该测试点 100% 的分数。

时间回到NOIday2:额k=2是哈夫曼树，那k大一点是不是就是k叉哈夫曼树呢？于是写了这个程序：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<queue>
#define rep(s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read() {
    ll x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const int maxn=100010;
ll A[maxn];
int n,k;
struct Arr {
    ll v;int cur;
    bool operator < (const Arr& ths) const {
        if(v!=ths.v) return v>ths.v;
        return cur>ths.cur;
    }
};
priority_queue<Arr> Q;
int main() {
    n=read(),k=read();
    rep(1,n) A[i]=read();
    ll ans=0;
    rep(1,n) Q.push((Arr){A[i],0});
    while(Q.size()!=1) {
        ll sum=0;int mx=0;
        for(int j=0;j<k;j++) {
            if(Q.size()) sum+=Q.top().v,mx=max(mx,Q.top().cur),Q.pop();
            else break;
        }
        ans+=sum;Q.push((Arr){sum,mx+1});
    }
    printf("%lld\n%d\n",ans,Q.top().cur);
    return 0;
}

发现过不了样例二，我就说肯定不可能这么简单么，于是开始想一些奇怪的DP之类的东西，1h过去后弃疗，手算了第10、11、12三个点走人，得分60。

后来听了ZSY巨神的教导，发现我的程序加上一行就可以AC了233

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<queue>
#define rep(s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read() {
    ll x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const int maxn=100010;
ll A[maxn];
int n,k;
struct Arr {
    ll v;int cur;
    bool operator < (const Arr& ths) const {
        if(v!=ths.v) return v>ths.v;
        return cur>ths.cur;
    }
};
priority_queue<Arr> Q;
int main() {
    n=read(),k=read();
    rep(1,n) A[i]=read();
    while((n-1)%(k-1)) n++;
    ll ans=0;
    rep(1,n) Q.push((Arr){A[i],0});
    while(Q.size()!=1) {
        ll sum=0;int mx=0;
        for(int j=0;j<k;j++) {
            if(Q.size()) sum+=Q.top().v,mx=max(mx,Q.top().cur),Q.pop();
            else break;
        }
        ans+=sum;Q.push((Arr){sum,mx+1});
    }
    printf("%lld\n%d\n",ans,Q.top().cur);
    return 0;
}

“注意每次合并k个的话最后一次可能不到k个，那么把最后一次挪到最开始合并，答案最优”。

好，Au无望了