Prufer序列

Prufer 序列

Prufer 序列可以将一个带标号$n$个节点的树用$[1,n]$中的$n-2$个整数表示，即$n$个点的完全图的生成树与长度为$n-2$值域为$[1,n]$的数列构成的双射。

Prufer 序列可以方便的解决一类树相关的计数问题，比如凯莱定理：$n$个点的完全图的生成树有 $n^{n-2}$个。注意这是定根树或无根树,根不定还要$\times n$

对树构造 Prufer 序列

Prufer 是这样构造的：

每次选择一个编号最小的叶节点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个节点。

重复$n-2$次后就只剩下两个节点，算法结束。

$\mathcal O(n \log n)$

显然，使用堆可以做到$O(n\log n)$的复杂度。

$\mathcal O(n)$

使用一个指针代替堆找最小值，可以做到 $\mathcal O(n)$ 的复杂度。

具体而言，指针指向编号最小的叶节点。每次删掉它之后，如果产生了新的叶节点且编号比指针指向的更小，则直接继续删掉，否则自增找到下一个编号最小的叶节点。

Prufer 序列的性质

从上述构造 Prufer 序列的过程可以看出 Prufer 序列具有以下两个性质：

1. 在构造完 Prufer 序列后原树中会剩下两个节点，其中一个一定是编号最大的点 $n$。
2. 每个节点在序列中出现的次数是其度数减 1，因此没有出现的就是叶节点。

用 Prufer 序列构造树

根据 Prufer 序列的性质，我们可以得到原树上每个点的度数。

每次我们选择一个编号最小的度数为 1 的节点，与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接，然后同时减掉两个点的度数。重复 $n-2$次后就只剩下两个度数为 1 的节点，其中一个是$n$，把它们连接起来即可。

$\mathcal O(n \log n)$

同样地，显然，使用堆可以做到 $O(n\log n)$ 的复杂度。

$\mathcal O(n)$

类似地，使用一个指针代替堆找最小值，可以做到 $\mathcal O(n)$ 的复杂度。

具体而言，指针指向编号最小的度数为 1 的节点。每次将它与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接之后，如果产生了新的度数为 1 的节点且编号比指针指向的更小，则直接继续将它与下一个 Prufer 序列的点连接，否则自增找到下一个编号最小的度数为 1 的节点。

------摘自洛谷大佬$xht$