Prufer 序列
Prufer 序列可以将一个带标号\(n\)个节点的树用\([1,n]\)中的\(n-2\)个整数表示，即\(n\)个点的完全图的生成树与长度为\(n-2\)值域为\([1,n]\)的数列构成的双射。
Prufer 序列可以方便的解决一类树相关的计数问题，比如凯莱定理：\(n\)个点的完全图的生成树有 \(n^{n-2}\)个。注意这是定根树或无根树,根不定还要\(\times n\)
对树构造 Prufer 序列
Prufer 是这样构造的：
每次选择一个编号最小的叶节点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个节点。
重复\(n-2\)次后就只剩下两个节点，算法结束。
\(\mathcal O(n \log n)\)
显然，使用堆可以做到\(O(n\log n)\)的复杂度。
\(\mathcal O(n)\)
使用一个指针代替堆找最小值，可以做到 \(\mathcal O(n)\) 的复杂度。
具体而言，指针指向编号最小的叶节点。每次删掉它之后，如果产生了新的叶节点且编号比指针指向的更小，则直接继续删掉，否则自增找到下一个编号最小的叶节点。
Prufer 序列的性质
从上述构造 Prufer 序列的过程可以看出 Prufer 序列具有以下两个性质：
- 在构造完 Prufer 序列后原树中会剩下两个节点，其中一个一定是编号最大的点 \(n\)。
- 每个节点在序列中出现的次数是其度数减 1，因此没有出现的就是叶节点。
用 Prufer 序列构造树
根据 Prufer 序列的性质，我们可以得到原树上每个点的度数。
每次我们选择一个编号最小的度数为 1 的节点，与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接，然后同时减掉两个点的度数。重复 \(n-2\)次后就只剩下两个度数为 1 的节点，其中一个是\(n\)，把它们连接起来即可。
\(\mathcal O(n \log n)\)
同样地，显然，使用堆可以做到 \(O(n\log n)\) 的复杂度。
\(\mathcal O(n)\)
类似地，使用一个指针代替堆找最小值，可以做到 \(\mathcal O(n)\) 的复杂度。
具体而言，指针指向编号最小的度数为 1 的节点。每次将它与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接之后，如果产生了新的度数为 1 的节点且编号比指针指向的更小，则直接继续将它与下一个 Prufer 序列的点连接，否则自增找到下一个编号最小的度数为 1 的节点。
------摘自洛谷大佬\(xht\)
