含有不等式约束的优化问题——KKT条件

Posted on 2018-09-03 16:25 wzd321 阅读(816) 评论(0) 编辑收藏举报

优化问题：

$\begin{array}{l} \min imize{\rm{ }}f(x)\\ s.t{\rm{ }}\\ h(x) = 0\\ {\rm{ }}g(x) \le 0 \end{array}$

其中， $f:{R^n} \to R,h:{R^n} \to {R^m},m \le n,g:{R^n} \to {R^p}$

定义：对于一个不等式约束 ${g_{_j}}(x) \le 0$ ，如果 ${g_{_j}}({x^ * }) = 0$ ，那么称不等式约束是 ${x^ * }$ 处起作用的约束。

定义：设 ${x^ * }$ 满足 $h({x^ * }) = 0,g({x^ * }) \le 0$ ，设 $J({x^*})$ 为起作用不等式约束的下标集：

$J({x^*}) \buildrel \Delta \over = \{ j:{g_j}({x^*}) = 0\}$

如果向量： $\nabla {h_i}({x^ * }),\nabla {g_j}({x^*}),1 \le i \le m,j \in J({x^*})$ 是线性无关的，则称 ${x^ * }$ 是一个正则点。

下面给出某个点是局部极小点的一阶必要条件（即如果是极小点，那么必然满足下列条件），称为KKT条件：

设 $f,h,g \in {C^1}$ ，设 ${x^ * }$ 是 $h(x) = 0,g(x) \le 0$ 的一个正则点和局部极小点，使得以下条件成立：

$\begin{array}{l} {\mu ^ * } \ge 0\\ \nabla f({x^ * }) + {\lambda ^ * }^T\nabla h({x^ * }) + {\mu ^ * }^T\nabla g({x^ * }) = {0^T}\\ {\mu ^ * }^Tg({x^*}) = 0 \end{array}$

${\lambda ^ * } \in {R^m}$ 为拉格朗日乘子向量， ${\mu ^ * } \in {R^p}$ 为KKT乘子向量。

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