[CSP-S模拟测试]:Cicada与排序（概率DP）
题目传送门（内部题93）
输入格式
第一行一个整数$n$，代表数列的长度。
接下来一行$n$个数$a_i$，用空格分隔开。
输出格式
输出一行$n$个数，表示原数列上这个位置在执行后的期望位置,注意输出的是期望值在$\mod 998244353$下的结果。
数据范围与提示
$n\leqslant 500,1\leqslant a_i\leqslant 10^3$
题解
考虑$DP$，设$dp[i][j][k]$表示在第$i$层下原来的$j$在现在排名为$k$的概率，发现还是不好转移。
再设$g[i][j]$表示在归并排序过程中两个指针分别指向$i,j$的概率，先求出$g$数组，然后直接转移即可。
证明一下时间复杂度，发现每层实际上就是一个卷积，那么复杂度为$T(n)=n^2+2T(\frac{n}{2})$，根据主定理，每层的时间复杂度为$T(n)=n^2$。所以处理单个数的时间复杂度为$\Theta(n^2)$，因为要处理每个数，于是时间复杂度为$\Theta(n^3)$。
时间复杂度：$\Theta(n^3)$。
期望得分：$100$分。
实际得分：$100$分。
代码时刻
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int two=499122177;
int n;
int a[501];
long long f[501][501][501],g[501][501],ans;
void merge_sort(int x,int l,int r)
{
if(l==r){f[x][l][l]=1;return;}
int mid=(l+r)>>1;
merge_sort(x+1,l,mid);
merge_sort(x+1,mid+1,r);
memset(g,0,sizeof(g));
g[0][0]=1;
for(int i=0;i<=mid-l+1;i++)
for(int j=0;j<=r-mid;j++)
{
if(i==mid-l+1)g[i][j+1]=(g[i][j+1]+g[i][j])%mod;
else if(j==r-mid)g[i+1][j]=(g[i+1][j]+g[i][j])%mod;
else if(a[i+l]<a[j+mid+1])g[i+1][j]=(g[i+1][j]+g[i][j])%mod;
else if(a[i+l]>a[j+mid+1])g[i][j+1]=(g[i][j+1]+g[i][j])%mod;
else
{
g[i+1][j]=(g[i+1][j]+g[i][j]*two%mod)%mod;
g[i][j+1]=(g[i][j+1]+g[i][j]*two%mod)%mod;
}
}
for(int i=l;i<=r;i++)
for(int j=0;j<=mid-l+1;j++)
for(int k=0;k<=r-mid;k++)
{
if(j==mid-l+1&&k==r-mid)continue;
if(j==mid-l+1)f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][k+mid+1]*g[j][k]%mod)%mod;
else if(k==r-mid)f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][j+l]*g[j][k]%mod)%mod;
else if(a[j+l]<a[k+mid+1])f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][j+l]*g[j][k]%mod)%mod;
else if(a[j+l]>a[k+mid+1])f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][k+mid+1]*g[j][k]%mod)%mod;
else
{
f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][k+mid+1]*g[j][k]%mod*two%mod)%mod;
f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][j+l]*g[j][k]%mod*two%mod)%mod;
}
}
sort(a+l,a+r+1);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
merge_sort(1,1,n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
ans=(ans+f[1][i][j]*j)%mod;
printf("%lld ",ans);
}
return 0;
}
rp++
