赛瓦维斯特定理
什么是赛瓦维斯特定理
如果我直接说赛瓦维斯特定理，你可能并不知道它是什么（不然你也不会点进来看了）；那么如果我说$NOIP\ 2017\ D1\ T1$小凯的疑惑，那你可能会恍然大悟。
其实，赛瓦维斯特定理就是：
已知$a,b$为大于$1$的正整数，$gcd(a,b)=1$，则使不定方程$ax+by=C$不存在非负整数解的最大整数$C=a\times b-a-b$。
那么，也就是小凯的疑惑中的$a\times b-a-b$。
赛瓦维斯特定理证明
还是考虑那道题，考场上找规律的人平均$20$分钟左右就能找到规律；而对于想“正解”的童鞋，大约需要$1$个小时才能$A$掉这道题（基本上用的都是扩展欧几里得）。
但是，显然找规律很不卓越，所以我们现在考虑真正的正解，也就是证明规律。
我们先来证明$a\times b-a-b$一定不能被取到。
利用反证法（反正法），我们假设存在$x,y\geqslant 0$满足$ax+by=ab-a-b$。
移项得：$a(x+1)+b(y+1)=ab$①。
我们再将$ab$除到左边来，即$\frac{a(x+1)}{ab}+\frac{b(y+1)}{ab}=1$，在消一下即可得到$\frac{x+1}{b}+\frac{y+1}{a}=1$。
那么$a|(y+1),b|(x+1)$，其中$|$为整除符号（曾经考试的阴影，在此强调一下……）
简单证明一下上一句话：我们再返回①式，再将其一项，可以得到$b(y+1)=a(b-x-1)$，又$\because gcd(a,b)=1$，$\therefore a|(y+1)$，$b|(x+1)$同理。
又$\because a(x+1)+b(y+1)\geqslant a\times b+b\times a=2ab$（$\because b|(x+1)\ \therefore b\leqslant x+1$，对于$a\leqslant y+1$同理）。
这与我们假设中的$a(x+1)+b(y+1)=ab,a\geqslant 0,b\geqslant 0$矛盾。
$\therefore$假设不成立，即不存在$x,y\geqslant 0$，满足$ax+by=ab-a-b$。
$\therefore$在原题中$a\times b-a-b$一定不会被取到。
现在我们在来证明对于任意正整数$C\geqslant ab-a-b+1$一定能被取到。
现将上式移项得：$C+a+b\geqslant ab+1$。
不妨设$k,m$使其满足$C+a+b=ka+m(k\geqslant b,1\leqslant m\leqslant a-1)$。
又$\because gcd(a,b)=1$，可以由裴蜀定理（若$gcd(a,b)=1$，则一定存在$x,y\in Z$，使得$ax+by=1$）得到如果$x',y'\in Z,-(b-1)\leqslant x'\leqslant -1$，则一定存在整数$y'$使得$ax'+by'=m$。
简单证明一下上面这句话，$\because$在正整数$x'$的去之中一共有$b-1$个数，$y'=\frac{m-ax'}{b}$，一定可以找到$x'$使得$b|(m-ax')$。
又$\because ax'<0,m>0,b>0$，$\therefore y\geqslant 1$。
$\therefore x=k+x'-1,y=y'-1$。
又$\because x,y\geqslant 0$。
$\therefore ax+by=C$
$\therefore$对于任意$C\geqslant ab-a-b+1$一定存在$x,y\geqslant 0$满足$ax+by=C$。
证毕。
（希望我证的是对的吧，证错了不要消费）
例题
$\alpha.NOIP\ 2017\ D1\ T1$小凯的疑惑（别戳了，没链接）。
rp++
