[CSP-S模拟测试]:树（树形DP+期望）
题目描述
梦游中的你来到了一棵$N$个节点的树上。你一共做了$Q$个梦，每个梦需要你从点$u$走到点$v$之后才能苏醒，由于你正在梦游，所以每到一个节点后，你会在它连出去的边中等概率地选择一条走过去，为了确保第二天能够准时到校，你要求出每个梦期望经过多少条边才能苏醒。为了避免精度误差，你要输出答案模${10}^9+7$的结果。
输入格式
第一行两个整数分别代表$N$和$Q$。接下来$N-1$行，每行两个整数$u,v$代表树中的一条边。接下来$Q$行，每行两个整数代表询问的$u,v$。
输出格式
一共$Q$行，每行一个整数代表答案。
样例
样例输入：
4 2
1 2
2 3
3 4
1 4
3 4
样例输出：
9
5
数据范围与提示
对于$20\%$的数据，$N\leqslant 10$。
对于$40\%$的数据，$N\leqslant 1,000$。
另有$20\%$的数据，保证给定的树是一条链。
对于$100\%$的数据，$N\leqslant 100,000,Q\leqslant 100,000$。
如果你求出的答案为$\frac{P}{Q}$（$P,Q$互质），那么你需要输出$P\times Q^{{10}^9+5}$。
题解
从$u$走到$v$一定是从$u$到$fa[u]$，在到$fa[fa[u]],...,$再从$u,v$的$lca$一步一步走到$v$。
那么如果能够算出从$u$到$fa[u]$的期望步数（设为$f[u]$）和从$fa[u]$到$u$的期望步数（设为$g[u]$）就能够做了。
那么我们可以列出如下状态转移方程：
$f[u]=\dfrac{1}{deg[u]}+\sum \limits_{x\in child[u]}\dfrac{f[x]+f[u]+1}{deg[u]}$
$g[u]=\dfrac{1}{deg[fa[u]]}+\dfrac{g[u]+g[fa[u]]+1}{deg[fa[u]]}+\sum \limits_{x\in child[fa[u]]xor\ x\neq u}\dfrac{g[u]+f[x]+1}{deg[fa[u]]}$
发现式子就是在枚举第一步怎么走来列方程。
化简发现$f[u]$和$g[u]$其实是整数。
先求$f$，再求$g$，然后求$lca$就可以了。
三遍$DFS$即可求出答案。
时间复杂度：$\Theta(3\times N)$。
期望得分：$100$分。
实际得分：$100$分。
代码时刻
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec
{
int nxt;
int to;
}e[200000];
int head[100001],cnt;
int n,q;
int fa[100001][18],depth[100001];
long long f[100001],g[100001];
void add(int x,int y)
{
e[++cnt].nxt=head[x];
e[cnt].to=y;
head[x]=cnt;
}
void pre_dfs(int x)
{
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
if(!depth[e[i].to])
{
fa[e[i].to][0]=x;
for(int j=1;j<=17;j++)
fa[e[i].to][j]=fa[fa[e[i].to][j-1]][j-1];
depth[e[i].to]=depth[x]+1;
pre_dfs(e[i].to);
}
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
if(e[i].to!=fa[x][0])
f[x]+=f[e[i].to]+1;
f[x]++;
}
void pro_dfs(int x)
{
long long res=0;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
if(e[i].to==fa[x][0])res+=g[x]+1;
else res+=f[e[i].to]+1;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
if(e[i].to!=fa[x][0])
{
g[e[i].to]=res-f[e[i].to];
pro_dfs(e[i].to);
}
}
void wzc_dfs(int x)
{
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
if(e[i].to!=fa[x][0])
{
f[e[i].to]+=f[x];
g[e[i].to]+=g[x];
wzc_dfs(e[i].to);
}
}
int LCA(int x,int y)
{
if(depth[x]>depth[y])swap(x,y);
for(int i=17;~i;i--)
if(depth[fa[y][i]]>=depth[x])y=fa[y][i];
if(x==y)return x;
for(int i=17;~i;i--)
if(fa[x][i]!=fa[y][i])
{
x=fa[x][i];
y=fa[y][i];
}
return fa[x][0];
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
depth[1]=1;
pre_dfs(1);
f[1]=0;
pro_dfs(1);
wzc_dfs(1);
while(q--)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
int lca=LCA(x,y);
printf("%lld\n",(f[x]-f[lca]+g[y]-g[lca])%1000000007);
}
return 0;
}
rp++
